Aşağıdaki çember denkleminin merkezi ve yarıçapını bulmak için iki temel yöntem kullanabiliriz: tam kareye tamamlama veya genel denklemden formülleri kullanma. Biz burada tam kareye tamamlama yöntemini adım adım uygulayarak hem konuyu pekiştirecek hem de sonuca ulaşacağız.
Verilen çember denklemi: $x^2 + y^2 - 10x + 6y - 2 = 0$
Öncelikle $x$’li terimleri kendi arasında, $y$’li terimleri kendi arasında gruplayalım ve sabit terimi denklemin sağ tarafına atalım:
$(x^2 - 10x) + (y^2 + 6y) = 2$
Bir ifadeyi tam kare yapmak için $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ veya $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliklerini kullanırız.
$x^2 - 10x$ ifadesini tam kare yapmak için, $x$’in katsayısının yarısının karesini eklememiz gerekir. $x$’in katsayısı $-10$’dur. Yarısı $-5$’tir. Karesi $(-5)^2 = 25$’tir.
Bu durumda, $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ olur.
Denklemin sol tarafına $25$ eklediğimiz için, eşitliğin bozulmaması adına sağ tarafına da $25$ eklemeliyiz.
Benzer şekilde, $y^2 + 6y$ ifadesini tam kare yapmak için $y$’nin katsayısının yarısının karesini eklemeliyiz. $y$’nin katsayısı $6$’dır. Yarısı $3$’tür. Karesi $(3)^2 = 9$’dur.
Bu durumda, $y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2$ olur.
Denklemin sol tarafına $9$ eklediğimiz için, eşitliğin bozulmaması adına sağ tarafına da $9$ eklemeliyiz.
Şimdi denklemi güncelleyelim:
$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 6y + 9) = 2 + 25 + 9$
Tam kare ifadeleri yerine yazalım ve sağ tarafı toplayalım:
$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 36$
Bir çemberin standart denklemi $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ şeklindedir. Burada $(a, b)$ çemberin merkezini ve $r$ ise yarıçapını gösterir.
Elde ettiğimiz denklem $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 36$ ile standart denklemi karşılaştıralım:
Merkez koordinatları için: $a = 5$ ve $b = -3$ (çünkü $(y+3)^2 = (y - (-3))^2$)
Yarıçap için: $r^2 = 36 \Rightarrow r = \sqrt{36} = 6$ (Yarıçap pozitif bir değer olmalıdır.)
Buna göre, çemberin merkezi $(5, -3)$ ve yarıçapı $r=6$ birimdir.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
