12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 1

Aşağıda verilen $f(x)$ fonksiyonu için $\lim_{x \to 2} f(x)$ değeri kaçtır?
$f(x) = \frac{\sqrt{x^2+5} - 3}{x-2}$

A) $0$

B) $\frac{1}{3}$

C) $\frac{2}{3}$

D) $1$

E) $\frac{4}{3}$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür limit problemlerini nasıl çözeceğimizi görelim.

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma Yöntemini Deneyelim

  Limit alırken ilk yapmamız gereken, $x$ değerini doğrudan fonksiyonda yerine koymaktır. Eğer belirli bir sayı elde edersek, limit o sayıdır. Eğer tanımsız bir ifade (örneğin $\frac{0}{0}$ veya $\frac{k}{0}$) elde edersek, fonksiyonu basitleştirmemiz gerekir.

  Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{\sqrt{x^2+5} - 3}{x-2}$ ve biz $\lim_{x \to 2} f(x)$ değerini arıyoruz.

  $x=2$ değerini fonksiyonda yerine koyalım:

  • Pay: $\sqrt{2^2+5} - 3 = \sqrt{4+5} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$
  • Payda: $2 - 2 = 0$

  Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliğini elde ettik. Bu durum, fonksiyonu cebirsel olarak basitleştirmemiz gerektiğini gösterir.

• Adım 2: Eşlenikle Çarpma Yöntemini Uygulayalım

  Pay kısmında köklü bir ifade olduğunda ve belirsizlik durumunda, genellikle eşlenik ile çarpma yöntemi kullanılır. Payın eşleniği, aradaki işaretin tersi alınarak bulunur.

  Payımız $\sqrt{x^2+5} - 3$ olduğu için, eşleniği $\sqrt{x^2+5} + 3$ olacaktır. Fonksiyonu hem payı hem de paydayı bu eşlenikle çarpalım:

  $f(x) = \frac{\sqrt{x^2+5} - 3}{x-2} \times \frac{\sqrt{x^2+5} + 3}{\sqrt{x^2+5} + 3}$

  Pay kısmında $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ özdeşliğini kullanacağız. Burada $a = \sqrt{x^2+5}$ ve $b = 3$.

  Yeni pay: $(\sqrt{x^2+5})^2 - 3^2 = (x^2+5) - 9 = x^2 - 4$

  Yeni payda: $(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)$

  Şimdi fonksiyonumuz şu hale geldi:

  $f(x) = \frac{x^2 - 4}{(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)}$

• Adım 3: İfadeyi Sadeleştirelim

  Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğidir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

  Yani, $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$.

  Fonksiyonu tekrar yazalım:

  $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)}$

  Limit alırken $x \to 2$ demek, $x$'in $2$'ye çok yaklaştığı ama asla $2$ olmadığı anlamına gelir. Bu yüzden $x-2 \neq 0$ diyebiliriz ve pay ile paydadaki $(x-2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz.

  Sadeleşmiş fonksiyonumuz:

  $f(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5} + 3}$

• Adım 4: Sadeleşmiş Fonksiyonun Limitini Hesaplayalım

  Şimdi sadeleşmiş fonksiyonda $x=2$ değerini yerine koyarak limiti bulabiliriz:

  $\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5} + 3} = \frac{2+2}{\sqrt{2^2+5} + 3}$

  $= \frac{4}{\sqrt{4+5} + 3}$

  $= \frac{4}{\sqrt{9} + 3}$

  $= \frac{4}{3 + 3}$

  $= \frac{4}{6}$

  $= \frac{2}{3}$

Böylece, $\lim_{x \to 2} f(x)$ değeri $\frac{2}{3}$ olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.