Kareköklü İfadeler: Toplama, Çıkarma ve Çarpma Test 1

Aşağıdaki çarpma işlemlerinden hangisinin sonucu bir rasyonel sayıdır?

A) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$
B) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$
C) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{3}$
D) $\sqrt{7} \cdot \sqrt{14}$

Sevgili öğrenciler, bu soruda amacımız, verilen çarpma işlemlerinden hangisinin sonucunun bir rasyonel sayı olduğunu bulmaktır. Bir sayının rasyonel olması demek, o sayının $rac{a}{b}$ şeklinde yazılabiliyor olması demektir. Burada $a$ ve $b$ birer tam sayı olmalı ve $b$ sıfırdan farklı olmalıdır. Kök dışına tam olarak çıkabilen sayılar (yani tam kare sayıların karekökleri) rasyoneldir. Örneğin, $\sqrt{9} = 3$ bir rasyonel sayıdır. Kök dışına tam olarak çıkamayan sayılar ise irrasyoneldir. Örneğin, $\sqrt{2}$ veya $\sqrt{3}$ birer irrasyonel sayıdır.

Şimdi her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

• A) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$

  Kareköklü ifadelerde çarpma işlemi yaparken, kök içindeki sayıları çarpabiliriz: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

  Bu durumda, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$ olur.

  $6$ bir tam kare sayı değildir ($1^2=1, 2^2=4, 3^2=9$). Dolayısıyla $\sqrt{6}$ kök dışına tam olarak çıkamaz ve bir irrasyonel sayıdır.

• B) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

  Yine aynı kuralı uygulayalım: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{5 \cdot 20}$.

  Çarpma işlemini yaparsak: $\sqrt{100}$ elde ederiz.

  $100$ bir tam kare sayıdır ($10^2 = 100$). Bu yüzden $\sqrt{100} = 10$ olur.

  $10$ bir tam sayıdır ve her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (çünkü $10 = rac{10}{1}$ şeklinde yazılabilir). Bu nedenle, bu işlemin sonucu bir rasyonel sayıdır.

• C) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{3}$

  Çarpma işlemini yapalım: $\sqrt{8} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{8 \cdot 3} = \sqrt{24}$.

  $24$ bir tam kare sayı değildir. Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.

  Sonuç $2\sqrt{6}$'dır. $\sqrt{6}$ irrasyonel olduğu için, $2\sqrt{6}$ da bir irrasyonel sayıdır.

• D) $\sqrt{7} \cdot \sqrt{14}$

  Çarpma işlemini yapalım: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 14} = \sqrt{98}$.

  $98$ bir tam kare sayı değildir. Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz: $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.

  Sonuç $7\sqrt{2}$'dir. $\sqrt{2}$ irrasyonel olduğu için, $7\sqrt{2}$ de bir irrasyonel sayıdır.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece B seçeneğindeki çarpma işleminin sonucunun bir rasyonel sayı olduğunu gördük.

Cevap B seçeneğidir.