Üçgende yükseklik test çöz Test 1

ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve A açısı 90°'dir. B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?

A) 4.8
B) 6
C) 4
D) 3.6

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir dik üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bir yükseklik uzunluğu isteniyor. Adım adım bu soruyu nasıl çözeceğimizi inceleyelim.

• 1. Üçgeni Tanıyalım ve Verilenleri Yazalım:

  Bize verilen bilgilere göre, bir ABC üçgenimiz var:

  • $|AB| = 8$ cm
  • $|AC| = 6$ cm
  • A açısı $90^\circ$ (Bu, ABC üçgeninin A köşesinde dik açısı olan bir dik üçgen olduğu anlamına gelir.)
• 2. Yüksekliğin Anlamını İnceleyelim:

  Soruda "B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu" isteniyor. Bir köşeden bir kenara çizilen yükseklik, o köşeden karşı kenara (veya uzantısına) indirilen dikmedir.

  • A açısı $90^\circ$ olduğu için, AB kenarı zaten AC kenarına diktir. Yani, B köşesinden AC kenarına çizilen yükseklik aslında AB kenarının kendisidir.
  • Bu durumda, bu yüksekliğin uzunluğu $|AB| = 8$ cm olmalıdır.
• 3. Seçenekleri ve Sorunun Muhtemel Amacını Değerlendirelim:

  Ancak, verilen seçeneklere baktığımızda $8$ cm diye bir şık olmadığını görüyoruz. Doğru cevap olarak da A seçeneği ($4.8$ cm) belirtilmiş. Bu durum, sorunun aslında dik üçgenlerde sıkça sorulan, dik açının hipotenüse inen yüksekliğini kastettiğini düşündürmektedir. Matematik sorularında bazen bu tür ifadelerle karşılaşılabilir. Biz de bu yaygın yorum üzerinden, yani A köşesinden BC kenarına çizilen yüksekliği bularak çözüme devam edelim.

• 4. Hipotenüs Uzunluğunu Bulalım (Pisagor Teoremi):

  ABC bir dik üçgen olduğu için, Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs $|BC|$'nin uzunluğunu bulabiliriz:

  • $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2$
  • $|BC|^2 = 8^2 + 6^2$
  • $|BC|^2 = 64 + 36$
  • $|BC|^2 = 100$
  • $|BC| = \sqrt{100}$
  • $|BC| = 10$ cm
• 5. Üçgenin Alanını İki Farklı Yolla Hesaplayalım:

  Bir dik üçgenin alanını iki farklı şekilde hesaplayabiliriz:

  • Yöntem 1: Dik Kenarları Kullanarak Alan

    Alan $= \frac{1}{2} \times \text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2}$

    Alan $= \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC|$

    Alan $= \frac{1}{2} \times 8 \times 6$

    Alan $= \frac{48}{2} = 24$ cm$^2$

  • Yöntem 2: Hipotenüs ve Hipotenüse Ait Yüksekliği Kullanarak Alan

    A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen yüksekliğe $h_a$ diyelim.

    Alan $= \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$

    Alan $= \frac{1}{2} \times |BC| \times h_a$

    Alan $= \frac{1}{2} \times 10 \times h_a = 5 h_a$

• 6. Yüksekliği Hesaplayalım:

  Her iki alan hesaplaması da aynı üçgenin alanını verdiği için, bu iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz:

  • $5 h_a = 24$
  • $h_a = \frac{24}{5}$
  • $h_a = 4.8$ cm

Bu durumda, A köşesinden hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğu $4.8$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.