10. Sınıf Fonksiyonların Nitel Özellikleri Test 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birebir ve örten değildir?

A) f: R → R, f(x) = 2x + 1
B) f: R → R, f(x) = x³
C) f: R → R, f(x) = |x|
D) f: R → R, f(x) = 3ˣ

Öncelikle bir fonksiyonun "birebir" (one-to-one) ve "örten" (onto) ne anlama geldiğini hatırlayalım:

• Birebir (One-to-one) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntü kümesinde farklı bir görüntüsü varsa, yani $f(x_1) = f(x_2)$ olduğunda mutlaka $x_1 = x_2$ oluyorsa fonksiyon birebirdir. Bir başka deyişle, yatay çizgi testi uygulandığında, yatay bir çizgi fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir.
• Örten (Onto) Fonksiyon: Fonksiyonun görüntü kümesi (fonksiyonun alabileceği tüm değerlerin kümesi) ile değer kümesi (fonksiyonun tanımlandığı hedef küme) birbirine eşitse fonksiyon örtendir. Yani değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa fonksiyon örtendir.

Soru bizden birebir ve örten olmayan fonksiyonu bulmamızı istiyor. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $f: R \to R$, $f(x) = 2x + 1$

  Birebirlik: $f(x_1) = f(x_2)$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$ olur. Her iki taraftan $1$ çıkarırsak $2x_1 = 2x_2$ ve buradan da $x_1 = x_2$ sonucuna ulaşırız. Bu fonksiyon birebirdir.

  Örtenlik: Değer kümesindeki herhangi bir $y \in R$ elemanı için $f(x) = y$ olacak şekilde bir $x \in R$ bulabilir miyiz? $2x + 1 = y$ denklemini $x$ için çözelim: $2x = y - 1 \Rightarrow x = \frac{y-1}{2}$. Her $y \in R$ için bir $x \in R$ bulunabilir. Bu fonksiyon örtendir.

  Sonuç: Bu fonksiyon birebir ve örtendir.

• B) $f: R \to R$, $f(x) = x^3$

  Birebirlik: $f(x_1) = f(x_2)$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $x_1^3 = x_2^3$ olur. Her iki tarafın küpkökünü aldığımızda $x_1 = x_2$ sonucuna ulaşırız. Bu fonksiyon birebirdir.

  Örtenlik: Değer kümesindeki herhangi bir $y \in R$ elemanı için $f(x) = y$ olacak şekilde bir $x \in R$ bulabilir miyiz? $x^3 = y$ denklemini $x$ için çözelim: $x = \sqrt[3]{y}$. Her $y \in R$ için bir $x \in R$ bulunabilir. Bu fonksiyon örtendir.

  Sonuç: Bu fonksiyon birebir ve örtendir.

• C) $f: R \to R$, $f(x) = |x|$

  Birebirlik: Bu fonksiyon birebir değildir. Örneğin, $f(2) = |2| = 2$ ve $f(-2) = |-2| = 2$. Burada $f(2) = f(-2)$ olmasına rağmen $2 \neq -2$. Yani farklı $x$ değerleri aynı $y$ değerine gitmiştir.

  Örtenlik: Fonksiyonun değer kümesi $R$ (tüm reel sayılar) olarak verilmiştir. Ancak $f(x) = |x|$ fonksiyonunun görüntü kümesi sadece $[0, \infty)$'dur (negatif olmayan reel sayılar). Örneğin, değer kümesindeki $-5$ gibi negatif bir sayı için $f(x) = |x| = -5$ olacak şekilde hiçbir $x \in R$ bulunamaz. Yani değer kümesinde açıkta elemanlar kalmaktadır. Bu fonksiyon örten değildir.

  Sonuç: Bu fonksiyon ne birebir ne de örtendir. Dolayısıyla "birebir ve örten değildir" koşulunu sağlar.

• D) $f: R \to R$, $f(x) = 3^x$

  Birebirlik: $f(x_1) = f(x_2)$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $3^{x_1} = 3^{x_2}$ olur. Üslü sayılar kuralına göre tabanlar eşitse üsler de eşit olmalıdır, yani $x_1 = x_2$. Bu fonksiyon birebirdir.

  Örtenlik: Fonksiyonun değer kümesi $R$ (tüm reel sayılar) olarak verilmiştir. Ancak $f(x) = 3^x$ fonksiyonunun görüntü kümesi sadece $(0, \infty)$'dur (pozitif reel sayılar). Yani $3^x$ hiçbir zaman $0$ veya negatif bir sayı olamaz. Örneğin, değer kümesindeki $-1$ veya $0$ gibi bir sayı için $f(x) = 3^x = -1$ veya $3^x = 0$ olacak şekilde hiçbir $x \in R$ bulunamaz. Yani değer kümesinde açıkta elemanlar kalmaktadır. Bu fonksiyon örten değildir.

  Sonuç: Bu fonksiyon birebirdir ancak örten değildir.

İncelemelerimiz sonucunda, C seçeneğindeki $f(x) = |x|$ fonksiyonunun ne birebir ne de örten olduğunu gördük. Bu durum, fonksiyonun "birebir ve örten değildir" koşulunu açıkça sağlamaktadır.

Cevap C seçeneğidir.