Bir üçgenin kenar uzunlukları \(a\), \(b\) ve \(c\) arasında \(a < b < c\) ilişkisi vardır. \(a + b + c = 24\) ve \(c = 10\) olduğuna göre, \(a\)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri ve çevre bilgisini kullanarak belirli bir kenarın alabileceği en büyük tam sayı değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
-
1. Verilen Bilgileri Not Edelim:
- Üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$'dir.
- Kenarlar arasında $a < b < c$ ilişkisi vardır. Bu, $a$'nın en küçük kenar, $b$'nin ortanca kenar ve $c$'nin en büyük kenar olduğu anlamına gelir. $a$'nın alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak için, $a$'yı mümkün olduğunca büyütmeye çalışacağız. Bu durumda, $a$'nın $b$'ye yakın, hatta eşit olabileceği durumları da göz önünde bulundururuz (ikizkenar üçgen durumu).
- Üçgenin çevresi $a + b + c = 24$'tür.
- En büyük kenar $c = 10$'dur.
-
2. Bilinen Değerleri Yerine Koyalım:
- Çevre denkleminde $c = 10$ değerini yerine yazalım:
- $a + b + 10 = 24$
- Buradan $a + b = 14$ sonucunu elde ederiz.
- Şimdi $b$ kenarını $a$ cinsinden ifade edebiliriz: $b = 14 - a$.
-
3. Üçgen Eşitsizliklerini Uygulayalım:
Bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır:
- $a + b > c$: $(a + b)$ yerine $14$ ve $c$ yerine $10$ yazarsak: $14 > 10$. Bu eşitsizlik her zaman doğrudur ve $a$ için yeni bir kısıtlama getirmez.
- $a + c > b$: $a + 10 > 14 - a$
- $2a > 4$
- $a > 2$
- $b + c > a$: $(14 - a) + 10 > a$
- $24 - a > a$
- $24 > 2a$
- $12 > a \Rightarrow a < 12$
Üçgen eşitsizliklerinden $2 < a < 12$ aralığını bulduk.
-
4. Kenarlar Arasındaki Sıralama İlişkisini Uygulayalım:
Soruda $a < b < c$ ilişkisi verilmiştir. $a$'nın en büyük tam sayı değerini bulmak için, $a$'yı mümkün olduğunca $b$'ye yaklaştırmalıyız. Bu durumda $a \le b$ durumunu inceleyebiliriz:
- $a \le b$: $a \le 14 - a$
- $2a \le 14$
- $a \le 7$
- $b < c$: $(14 - a) < 10$
- $4 < a$
Sıralama ilişkilerinden $4 < a \le 7$ aralığını bulduk.
-
5. Tüm Kısıtlamaları Birleştirelim:
- Üçgen eşitsizliklerinden: $a > 2$ ve $a < 12$.
- Sıralama ilişkilerinden: $a > 4$ ve $a \le 7$.
- Tüm bu eşitsizlikleri birleştirdiğimizde, $a$'nın alabileceği değerler için en dar aralığı buluruz:
- $a > 4$ (çünkü $a > 2$ ve $a > 4$ eşitsizliklerinden daha kısıtlayıcı olan $a > 4$'tür)
- $a \le 7$ (çünkü $a < 12$ ve $a \le 7$ eşitsizliklerinden daha kısıtlayıcı olan $a \le 7$'dir)
- Yani, $4 < a \le 7$.
-
6. $a$'nın Alabileceği En Büyük Tam Sayı Değerini Bulalım:
- $4 < a \le 7$ aralığındaki tam sayılar $5, 6, 7$'dir.
- Bu tam sayılar arasında en büyüğü $7$'dir.
- Şimdi $a=7$ değerini kontrol edelim:
- Eğer $a=7$ ise, $b = 14 - a = 14 - 7 = 7$. Ve $c = 10$.
- Kenarlar $7, 7, 10$ olur.
- Üçgen eşitsizlikleri: $7+7 > 10$ ($14 > 10$ doğru), $7+10 > 7$ ($17 > 7$ doğru). Bu bir üçgen oluşturur.
- Sıralama: $a \le b < c \Rightarrow 7 \le 7 < 10$. Bu ilişki de doğrudur.
- Çevre: $7+7+10 = 24$. Bu da doğrudur.
Bu durumda, $a$'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri $7$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
