Paralelkenar yöntemi (Vektör toplama) Test 2

Büyüklükleri eşit olan iki kuvvet vektörü, aralarındaki açı $\theta$ olacak şekilde bir noktaya etki etmektedir. Bu iki kuvvetin bileşkesinin büyüklüğü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Açı $\theta$ arttıkça bileşkenin büyüklüğü de artar.
B) Açı $\theta$ azaldıkça bileşkenin büyüklüğü de azalır.
C) Açı $\theta = 0^\circ$ olduğunda bileşkenin büyüklüğü minimum olur.
D) Açı $\theta = 180^\circ$ olduğunda bileşkenin büyüklüğü minimum olur.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, büyüklükleri eşit olan iki kuvvet vektörünün bileşkesinin büyüklüğünün, aralarındaki açıya ($\theta$) nasıl bağlı olduğunu inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Vektörlerin Bileşkesi İçin Genel Formül:

  İki vektörün ($\vec{F_1}$ ve $\vec{F_2}$) bileşkesinin ($\vec{R}$) büyüklüğü, aralarındaki açı $\theta$ olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur:

  $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos\theta}$

  Burada $F_1$ ve $F_2$ vektörlerin büyüklükleridir.

• 2. Soruya Özel Durumu Uygulama:

  Soruda, iki kuvvet vektörünün büyüklüklerinin eşit olduğu belirtilmiştir. Yani $F_1 = F_2 = F$ diyebiliriz. Bu değeri yukarıdaki formülde yerine koyalım:

  $R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F \cdot F \cos\theta}$

  $R = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cos\theta}$

  $R = \sqrt{2F^2(1 + \cos\theta)}$

• 3. Trigonometrik Özdeşlik Kullanarak Formülü Basitleştirme:

  Matematikten bildiğimiz bir trigonometrik özdeşlik vardır: $1 + \cos\theta = 2\cos^2(\theta/2)$. Bu özdeşliği formülümüzde yerine koyarsak:

  $R = \sqrt{2F^2 \cdot (2\cos^2(\theta/2))}$

  $R = \sqrt{4F^2 \cos^2(\theta/2)}$

  Karekök dışına çıkarırsak:

  $R = 2F |\cos(\theta/2)|$

  Fizik problemlerinde $\theta$ açısı genellikle $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasında değişir. Bu durumda $\theta/2$ açısı $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasında olur. Bu aralıkta $\cos(\theta/2)$ değeri daima pozitif olduğu için mutlak değer işaretini kaldırabiliriz:

  $R = 2F \cos(\theta/2)$

• 4. Açının Değişimi ile Bileşkenin Büyüklüğünün İlişkisi:

  Şimdi $R = 2F \cos(\theta/2)$ formülünü kullanarak açının değişimiyle bileşkenin nasıl değiştiğini inceleyelim:

  • Açı $\theta$ arttıkça, $\theta/2$ açısı da artar.
  • $\theta/2$ açısı $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasında arttıkça, $\cos(\theta/2)$ değeri azalır (çünkü $\cos(0^\circ)=1$ iken $\cos(90^\circ)=0$ olur).
  • Dolayısıyla, açı $\theta$ arttıkça bileşkenin büyüklüğü $R$ azalır. Tam tersi, açı $\theta$ azaldıkça bileşkenin büyüklüğü $R$ artar.
• 5. Seçenekleri Değerlendirme:

  Yukarıdaki analizi kullanarak seçenekleri inceleyelim:

  • A) Açı $\theta$ arttıkça bileşkenin büyüklüğü de artar. Bu ifade yanlıştır, çünkü $\theta$ arttıkça $\cos(\theta/2)$ azalır ve dolayısıyla $R$ azalır.
  • B) Açı $\theta$ azaldıkça bileşkenin büyüklüğü de azalır. Bu ifade yanlıştır, çünkü $\theta$ azaldıkça $\cos(\theta/2)$ artar ve dolayısıyla $R$ artar.
  • C) Açı $\theta = 0^\circ$ olduğunda bileşkenin büyüklüğü minimum olur. $\theta = 0^\circ$ iken $R = 2F \cos(0^\circ/2) = 2F \cos(0^\circ) = 2F \cdot 1 = 2F$. Bu, bileşkenin alabileceği **maksimum** değerdir (kuvvetler aynı yönde olduğunda). Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
  • D) Açı $\theta = 180^\circ$ olduğunda bileşkenin büyüklüğü minimum olur. $\theta = 180^\circ$ iken $R = 2F \cos(180^\circ/2) = 2F \cos(90^\circ) = 2F \cdot 0 = 0$. Bu, bileşkenin alabileceği **minimum** değerdir (kuvvetler zıt yönde ve eşit büyüklükte olduğunda birbirlerini tamamen yok ederler). Dolayısıyla bu ifade doğrudur.

Bu analizler sonucunda, doğru seçeneğin D olduğunu görüyoruz.

Cevap D seçeneğidir.