2. p: "∃x ∈ Z, x² = 4" önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∀x ∈ Z, x² ≠ 4Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mantık konusunda önemli bir kavram olan önermelerin değilini (olumsuzunu) nasıl alacağımızı öğreneceğiz. Özellikle niceleyiciler (quantifiers) içeren önermelerde bu kuralları doğru uygulamak çok önemlidir.
Verilen önerme şudur:
$p: "\exists x \in Z, x^2 = 4"$
Bu önermenin değilini (olumsuzunu) bulmak için adım adım ilerleyelim:
1. Önermeyi Anlayalım:
Önerme, "$Z$ (tam sayılar kümesi) içinde öyle bir $x$ vardır ki, $x$'in karesi $4$'e eşittir." anlamına gelir. Burada $x$ yerine $2$ veya $-2$ koyduğumuzda $x^2 = 4$ eşitliği sağlanır, dolayısıyla bu önerme doğru bir önermedir.
2. Niceleyiciyi (Quantifier) Belirleyelim:
Önermede kullanılan niceleyici "$\exists$" sembolüdür. Bu, "bazı", "en az bir" veya "vardır ki" anlamına gelen varlıksal niceleyicidir (existential quantifier).
3. Niceleyicinin Değilini Alalım:
Varlıksal niceleyicinin ("$\exists$") değili, evrensel niceleyicidir ("$\forall$"). Yani "bazı $x$" ifadesinin değili "her $x$" veya "tüm $x$" olur.
$\neg (\exists x)$ ifadesi $\forall x$ olur.
4. Koşulun (Predicate) Değilini Alalım:
Önermedeki koşul (yüklem) "$x^2 = 4$" ifadesidir. Bir eşitliğin değilini almak, o eşitliği eşitsizliğe çevirmektir.
Yani "$x^2 = 4$" ifadesinin değili "$x^2 \neq 4$" olur.
5. Değilleri Birleştirelim:
Şimdi niceleyicinin ve koşulun değillerini birleştirerek $p$ önermesinin değilini ($p'$) oluşturalım:
Asıl önerme: $p: "\exists x \in Z, x^2 = 4"$
Değili: $p': "\forall x \in Z, x^2 \neq 4"$
Bu ifade, "$Z$ (tam sayılar kümesi) içindeki her $x$ için, $x$'in karesi $4$'e eşit değildir." anlamına gelir.
6. Seçenekleri Kontrol Edelim:
Bulduğumuz $p': "\forall x \in Z, x^2 \neq 4"$ ifadesi, seçeneklerden A) şıkkı ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
