Bir matematik öğretmeni tahtaya \( P(x) = 3x^{n-2} + 5x^{m+1} - 7 \) ifadesini yazmış ve "Bu ifade bir polinomdur" demiştir.
Buna göre \( m \) ve \( n \) tam sayıları için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \( n > 2 \) ve \( m > -1 \)
B) \( n \geq 2 \) ve \( m \geq -1 \)
C) \( n \geq 3 \) ve \( m \geq 0 \)
D) \( n > 3 \) ve \( m > 0 \)
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir ifadenin polinom olmasının temel şartlarını hatırlayarak $m$ ve $n$ tam sayıları için doğru koşulları bulacağız. Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenlerin kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı (yani negatif olmayan tam sayı) olması gerekir. Şimdi adım adım çözümleyelim:
- Öncelikle, bize verilen ifade $ P(x) = 3x^{n-2} + 5x^{m+1} - 7 $ şeklindedir.
- Bir ifadenin polinom olabilmesi için, $x$'in kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı olması gerekir. Doğal sayılar kümesi $ \{0, 1, 2, 3, \dots\} $ şeklindedir. Yani kuvvetler negatif olamaz ve kesirli de olamaz.
- İfademizdeki $x$'in kuvvetleri $ n-2 $ ve $ m+1 $ şeklindedir. Bu kuvvetlerin doğal sayı olması gerekmektedir.
- İlk kuvvet olan $ n-2 $ için koşulumuzu yazalım: $ n-2 \geq 0 $. Bu eşitsizliği çözdüğümüzde $ n \geq 2 $ sonucunu elde ederiz. Ayrıca, $n$ bir tam sayı olduğu için bu koşul $n$'nin $2, 3, 4, \dots$ gibi değerler alabileceği anlamına gelir.
- İkinci kuvvet olan $ m+1 $ için koşulumuzu yazalım: $ m+1 \geq 0 $. Bu eşitsizliği çözdüğümüzde $ m \geq -1 $ sonucunu elde ederiz. Ayrıca, $m$ bir tam sayı olduğu için bu koşul $m$'nin $ -1, 0, 1, 2, \dots $ gibi değerler alabileceği anlamına gelir.
- Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için, $ n \geq 2 $ ve $ m \geq -1 $ olmalıdır.
- Şimdi bu bulduğumuz koşulları seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $ n > 2 $ ve $ m > -1 $: Bu seçenek, $ n=2 $ veya $ m=-1 $ olma durumlarını dışladığı için yanlıştır.
- B) $ n \geq 2 $ ve $ m \geq -1 $: Bu seçenek, bulduğumuz koşullarla tamamen aynıdır.
- C) $ n \geq 3 $ ve $ m \geq 0 $: Bu seçenek, $ n=2 $ veya $ m=-1 $ olma durumlarını dışladığı için yanlıştır.
- D) $ n > 3 $ ve $ m > 0 $: Bu seçenek, $ n=2, 3 $ veya $ m=-1, 0 $ olma durumlarını dışladığı için yanlıştır.
Bu durumda, kesinlikle doğru olan seçenek B'dir.
Cevap B seçeneğidir.
