Gerçek Sayılar Kümesinde Ters Eleman ve Birim Eleman Test 1

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı toplama ve çarpma işlemlerinin birim (etkisiz) elemanları sırasıyla $e_1$ ve $e_2$ olsun. Buna göre $e_1 + e_2$ işleminin sonucu kaçtır?

A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $-1$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, gerçek sayılar kümesinde tanımlı toplama ve çarpma işlemlerinin birim (etkisiz) elemanlarını bulup, bu elemanların toplamını hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Toplama İşleminin Birim Elemanını Bulma ($e_1$):

  Bir kümede tanımlı bir işlem için birim (etkisiz) eleman, o işlemde herhangi bir elemanla işleme girdiğinde, diğer elemanı değiştirmeyen elemandır. Toplama işlemi için birim eleman $e_1$ olsun. Bu durumda, gerçek sayılar kümesindeki herhangi bir $a$ sayısı için aşağıdaki eşitlik geçerli olmalıdır:

  $a + e_1 = a$

  Bu eşitliğin sağlanabilmesi için $e_1$ yerine hangi sayıyı yazmalıyız? Eğer $e_1 = 0$ olursa, $a + 0 = a$ eşitliği her zaman doğru olur. Bu nedenle, toplama işleminin birim elemanı $e_1 = 0$'dır.

• 2. Çarpma İşleminin Birim Elemanını Bulma ($e_2$):

  Şimdi de çarpma işlemi için birim eleman $e_2$'yi bulalım. Gerçek sayılar kümesindeki herhangi bir $a$ sayısı için aşağıdaki eşitlik geçerli olmalıdır:

  $a \times e_2 = a$

  Bu eşitliğin sağlanabilmesi için $e_2$ yerine hangi sayıyı yazmalıyız? Eğer $e_2 = 1$ olursa, $a \times 1 = a$ eşitliği her zaman doğru olur. Bu nedenle, çarpma işleminin birim elemanı $e_2 = 1$'dir.

• 3. $e_1 + e_2$ İşleminin Sonucunu Hesaplama:

  Toplama işleminin birim elemanını $e_1 = 0$ ve çarpma işleminin birim elemanını $e_2 = 1$ olarak bulduk. Şimdi bu iki değeri toplayalım:

  $e_1 + e_2 = 0 + 1$

  $e_1 + e_2 = 1$

Buna göre, $e_1 + e_2$ işleminin sonucu $1$'dir.

Cevap B seçeneğidir.