Gerçek Sayılar Kümesinde Ters Eleman ve Birim Eleman Test 1

Gerçek sayılar kümesi üzerinde $\star$ işlemi $a \star b = a + b - 5$ şeklinde tanımlanıyor. Bu işleme göre birim (etkisiz) eleman kaçtır?

A) $0$
B) $1$
C) $5$
D) $-5$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanmış özel bir işlemde birim (etkisiz) elemanı nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Birim (Etkisiz) Eleman Nedir?

  Bir işlemde birim eleman, o işlemdeki diğer elemanlarla işleme girdiğinde, diğer elemanı değiştirmeyen elemandır. Yani, bir $a$ sayısı ile birim eleman $e$ işleme girdiğinde sonuç yine $a$ olmalıdır. Matematiksel olarak bunu şu şekilde ifade ederiz:

  • $a \star e = a$
  • $e \star a = a$

  Bu iki koşulu sağlayan $e$ sayısına birim eleman denir.

• 2. Adım: Verilen İşlemi Tanıyalım.

  Soruda bize gerçek sayılar kümesi üzerinde $\star$ işleminin $a \star b = a + b - 5$ şeklinde tanımlandığı söyleniyor.

• 3. Adım: Birim Eleman Tanımını İşlemimize Uygulayalım.

  Birim eleman $e$'yi bulmak için $a \star e = a$ koşulunu kullanacağız. İşlemimizin tanımına göre $a \star e$ ifadesini açalım:

  $a \star e = a + e - 5$

  Şimdi bu ifadeyi $a$'ya eşitleyelim:

  $a + e - 5 = a$

• 4. Adım: Denklemi Çözerek $e$'yi Bulalım.

  Elde ettiğimiz $a + e - 5 = a$ denklemini $e$ için çözmeliyiz. Bunun için denklemin her iki tarafından $a$'yı çıkaralım:

  $a + e - 5 - a = a - a$

  $e - 5 = 0$

  Şimdi $-5$'i denklemin sağ tarafına atalım (işaret değiştirerek):

  $e = 5$

• 5. Adım: Sağlamasını Yapalım (İsteğe Bağlı ama Faydalı).

  Bulduğumuz $e=5$ değerinin gerçekten birim eleman olup olmadığını kontrol edelim. Bunun için $e \star a = a$ koşulunu da sağlaması gerekir:

  $5 \star a = 5 + a - 5$

  $5 \star a = a$

  Gördüğümüz gibi, her iki koşul da sağlanmaktadır. Bu da $e=5$ değerinin doğru birim eleman olduğunu gösterir.

Bu adımları takip ederek, verilen işlem için birim elemanın $5$ olduğunu bulduk.

Cevap C seçeneğidir.