Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanmış bir işlem için birim (etkisiz) elemanı nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Birim eleman, bir işlemde diğer elemanlarla birleştiğinde o elemanların değerini değiştirmeyen özel bir elemandır.
- 1. Birim Elemanın Tanımını Hatırlayalım:
- Bir $\circ$ işlemi için birim eleman $e$ ise, kümedeki her $a$ elemanı için $a \circ e = a$ ve $e \circ a = a$ eşitlikleri sağlanmalıdır. Bu iki eşitlikten herhangi birini kullanarak $e$ değerini bulabiliriz. Genellikle daha basit olanı seçilir.
- 2. Verilen İşlemi Tanıma Uygulayalım:
- Soruda verilen işlem $a \circ b = \frac{a \cdot b}{3}$ şeklindedir. Birim elemanı bulmak için $a \circ e = a$ eşitliğini kullanacağız.
- $a \circ e = a$ eşitliğinde, $b$ yerine $e$ yazarak işlemi uygulayalım:
- $\frac{a \cdot e}{3} = a$
- 3. Birim Eleman $e$'yi Bulmak İçin Denklemi Çözelim:
- Amacımız $e$ değerini yalnız bırakmaktır.
- Öncelikle denklemin her iki tarafını $3$ ile çarpalım:
- $3 \cdot \left(\frac{a \cdot e}{3}\right) = 3 \cdot a$
- Bu durumda denklemimiz $a \cdot e = 3a$ halini alır.
- Şimdi, $e$'yi yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $a$ ile bölelim. Burada önemli bir nokta var: Eğer $a$ sıfırdan farklı ise bu bölme işlemini yapabiliriz.
- $e = \frac{3a}{a}$
- $e = 3$
- 4. Bulduğumuz Birim Elemanı Kontrol Edelim:
- Birim elemanı $e=3$ olarak bulduk. Şimdi bu değerin tanımın her iki koşulunu da sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
- İlk olarak $a \circ e = a$ koşulunu kontrol edelim: $a \circ 3 = \frac{a \cdot 3}{3} = \frac{3a}{3} = a$. Bu koşul sağlanıyor.
- İkinci olarak $e \circ a = a$ koşulunu kontrol edelim: $3 \circ a = \frac{3 \cdot a}{3} = \frac{3a}{3} = a$. Bu koşul da sağlanıyor.
- Ayrıca, $a=0$ durumu için de kontrol edelim. Eğer $a=0$ ise, $0 \circ e = 0$ olmalıdır. Biz $e=3$ bulduk. $0 \circ 3 = \frac{0 \cdot 3}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Bu da doğrudur.
Gördüğümüz gibi, $e=3$ değeri, gerçek sayılar kümesindeki her $a$ elemanı için birim eleman tanımını sağlamaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
