f(x) = 2x + 3 doğrusal fonksiyonu için tanım kümesi gerçek sayılar olduğuna göre, görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tam sayılar
B) Doğal sayılar
C) Gerçek sayılar
D) Pozitif gerçek sayılar
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:
Adım 1: Tanım Kümesini Anlamak
- Soruda $f(x) = 2x + 3$ fonksiyonunun tanım kümesinin gerçek sayılar olduğu belirtilmiş. Bu, $x$ yerine herhangi bir gerçek sayı yazabileceğimiz anlamına gelir.
Adım 2: Görüntü Kümesini Düşünmek
- Görüntü kümesi, tanım kümesindeki her bir $x$ değeri için fonksiyonun ürettiği $f(x)$ değerlerinin kümesidir.
- $f(x) = 2x + 3$ doğrusal bir fonksiyondur. Doğrusal fonksiyonlar, gerçek sayılar tanım kümesi üzerinde tanımlandığında, genellikle gerçek sayılar görüntü kümesine sahiptir.
Adım 3: Seçenekleri Değerlendirmek
- A) Tam sayılar: $x$ yerine tam sayı olmayan bir gerçek sayı (örneğin, $x = 0.5$) yazdığımızda, $f(0.5) = 2(0.5) + 3 = 4$ olur. Başka bir örnek olarak $x=0.25$ alırsak, $f(0.25) = 2(0.25) + 3 = 3.5$ olur. Görüldüğü gibi sonuç tam sayı olmak zorunda değil.
- B) Doğal sayılar: $x$ yerine negatif bir gerçek sayı (örneğin, $x = -1$) yazdığımızda, $f(-1) = 2(-1) + 3 = 1$ olur. Ancak $x = -2$ yazdığımızda $f(-2) = 2(-2) + 3 = -1$ olur. Sonuç doğal sayı olmak zorunda değil.
- C) Gerçek sayılar: $x$ yerine herhangi bir gerçek sayı yazdığımızda, $2x + 3$ de bir gerçek sayı olacaktır. Çünkü gerçek sayıları 2 ile çarpmak ve 3 eklemek sonucu yine bir gerçek sayı yapar.
- D) Pozitif gerçek sayılar: $x$ yerine yeterince küçük (negatif) bir gerçek sayı (örneğin, $x = -10$) yazdığımızda, $f(-10) = 2(-10) + 3 = -17$ olur. Sonuç pozitif olmak zorunda değil.
Adım 4: Sonuç
- Doğrusal fonksiyonumuzun tanım kümesi gerçek sayılar olduğunda ve $x$ yerine herhangi bir gerçek sayı yazdığımızda, sonuç da her zaman bir gerçek sayı olacaktır. Bu nedenle görüntü kümesi gerçek sayılardır.
Cevap C seçeneğidir.
