Bir arabanın deposu 50 litre benzin almakta ve her 100 km'de 8 litre benzin tüketmektedir. Depo dolu iken yola çıkan arabanın aldığı yola göre depoda kalan benzin miktarını gösteren fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tanım: [0, 625], Görüntü: [0, 50]Sevgili öğrenciler, bu problemde bir arabanın deposundaki benzin miktarının, katettiği yola göre nasıl değiştiğini bir fonksiyonla ifade edip, bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Öncelikle, depoda kalan benzin miktarını yolculuk mesafesine bağlı bir fonksiyon olarak yazmalıyız.
Arabanın deposu 50 litre benzin almaktadır. Bu, başlangıçtaki benzin miktarımızdır.
Araba her 100 km'de 8 litre benzin tüketmektedir. Bu bilgiyi 1 km'de ne kadar benzin tükettiğini bulmak için kullanabiliriz: $\frac{8 \text{ litre}}{100 \text{ km}} = 0.08 \text{ litre/km}$.
Eğer araba $x$ kilometre yol alırsa, tüketeceği benzin miktarı $0.08x$ litre olacaktır.
Depoda kalan benzin miktarı $f(x)$ ise, başlangıçtaki benzinden tüketilen miktarı çıkararak buluruz: $f(x) = 50 - 0.08x$.
Tanım kümesi, fonksiyonda yerine yazabileceğimiz $x$ (yolculuk mesafesi) değerlerinin aralığıdır.
Yolculuk mesafesi negatif olamaz, yani $x \ge 0$ olmalıdır.
Depoda kalan benzin miktarı da negatif olamaz. Yani $f(x) \ge 0$ olmalıdır.
Bu durumda, $50 - 0.08x \ge 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
$50 \ge 0.08x$
$\frac{50}{0.08} \ge x$
$\frac{5000}{8} \ge x$
$625 \ge x$
Yani, $x \le 625$ olmalıdır.
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, tanım kümesi $0 \le x \le 625$ olur. Aralık gösterimiyle $[0, 625]$ şeklinde ifade edilir. Bu, arabanın en fazla 625 km yol gidebileceği anlamına gelir.
Görüntü kümesi, fonksiyonun alabileceği $f(x)$ (depoda kalan benzin miktarı) değerlerinin aralığıdır.
Tanım kümesini bulurken, $x$ değerlerinin $[0, 625]$ aralığında olduğunu belirlemiştik. Şimdi bu aralıktaki $x$ değerleri için $f(x)$'in alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulalım.
En büyük benzin miktarı: Araba hiç yol gitmediğinde ($x=0$) depodaki benzin miktarıdır.
$f(0) = 50 - 0.08(0) = 50$ litre.
En küçük benzin miktarı: Araba gidebileceği en uzun mesafeyi ($x=625$) katettiğinde depodaki benzin miktarıdır.
$f(625) = 50 - 0.08(625) = 50 - 50 = 0$ litre.
Bu durumda, depoda kalan benzin miktarı $0$ ile $50$ litre arasında değişir.
Görüntü kümesi $0 \le f(x) \le 50$ olur. Aralık gösterimiyle $[0, 50]$ şeklinde ifade edilir.
Bulduğumuz tanım kümesi $[0, 625]$ ve görüntü kümesi $[0, 50]$'dir.
Seçeneklere baktığımızda, bu değerleri içeren seçeneğin A olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
