Bir öğrenci \( 2^3 \cdot 2^4 \) işlemini \( 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \) olarak hesaplamıştır. Bu öğrencinin yaptığı hata aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tabanları farklı olduğu için işlem yapmamalıydıSevgili öğrenciler, bu tür üslü sayılarla ilgili işlemlerde sıkça karşılaşılan bir hatayı inceliyoruz. Adım adım gidelim:
$ 2^3 $ demek, $2$ sayısını kendisiyle $3$ kez çarpmak demektir: $ 2 \cdot 2 \cdot 2 $.
$ 2^4 $ demek, $2$ sayısını kendisiyle $4$ kez çarpmak demektir: $ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $.
Eğer $ 2^3 \cdot 2^4 $ işlemini açarsak:
$ (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) $
Bu ifadeyi bir bütün olarak düşündüğümüzde, toplamda kaç tane $2$ sayısının çarpıldığını görürüz? İlk grupta $3$ tane, ikinci grupta $4$ tane. Yani toplamda $3 + 4 = 7$ tane $2$ sayısı çarpılmıştır.
Bu da bize $ 2^7 $ sonucunu verir.
Dolayısıyla, tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken, taban aynı kalır ve üsler toplanır. Matematiksel olarak kural şöyledir: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.
Öğrenci üsleri çarptı ($ 3 \cdot 4 = 12 $), sonuç $ 2^{12} $.
Doğrusu üsleri toplamalıydı ($ 3 + 4 = 7 $), sonuç $ 2^7 $.
Gördüğümüz gibi, öğrenci üsleri toplaması gerekirken çarpmıştır.
A) Tabanları farklı olduğu için işlem yapmamalıydı: Yanlış. Tabanlar ikisinde de $2$ olduğu için aynıdır.
B) Üsleri toplaması gerekirken çarpmıştır: Doğru. Öğrenci $3$ ve $4$ sayılarını toplaması gerekirken çarpmıştır.
C) Tabanları çarpması gerekirken üsleri çarpmıştır: Yanlış. Tabanlar aynı kalır, çarpılmaz. Öğrenci evet üsleri çarpmıştır ama tabanları çarpma gibi bir durum söz konusu değildir.
D) Üsleri çıkarması gerekirken toplamıştır: Yanlış. Bu kural bölme işlemi için geçerlidir ($ a^m / a^n = a^{m-n} $), çarpma işlemi için değil. Ayrıca öğrenci üsleri toplamamış, çarpmıştır.
Cevap B seçeneğidir.
