Bir rasyonel fonksiyonun payının derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise, bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Yatay asimptotu vardır.Merhaba sevgili öğrenciler,
Rasyonel fonksiyonların asimptotları, fonksiyonun davranışını anlamamız için çok önemli kavramlardır. Bu soruda, payın derecesinin paydanın derecesinden 1 fazla olduğu özel bir durumu inceliyoruz. Gelin, bu durumu adım adım analiz edelim.
Bir rasyonel fonksiyon, iki polinomun oranı şeklinde yazılabilen bir fonksiyondur. Yani, $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklindedir, burada $P(x)$ ve $Q(x)$ birer polinomdur ve $Q(x) \ne 0$ olmalıdır.
Soruda verilen bilgiye göre, payın derecesi ($\text{deg}(P(x))$) paydanın derecesinden ($\text{deg}(Q(x))$) 1 fazladır. Yani, $\text{deg}(P(x)) = \text{deg}(Q(x)) + 1$ ilişkisi vardır.
Bir rasyonel fonksiyonun yatay asimptotu olabilmesi için payın derecesi paydanın derecesine eşit veya daha küçük olmalıdır ($\text{deg}(P(x)) \le \text{deg}(Q(x))$). Ancak bizim durumumuzda payın derecesi paydanın derecesinden büyüktür ($\text{deg}(P(x)) > \text{deg}(Q(x))$). Dolayısıyla, bu fonksiyonun yatay asimptotu yoktur. Bu seçenek yanlıştır.
Bir rasyonel fonksiyonun eğik (veya eğri) asimptotu olabilmesi için payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla olmalıdır. Yani, $\text{deg}(P(x)) = \text{deg}(Q(x)) + 1$ olmalıdır. Bu, soruda verilen tam da bu koşuldur! Bu durumda, $P(x)$ polinomunu $Q(x)$ polinomuna böldüğümüzde elde ettiğimiz bölüm polinomu bir doğru denklemi ($y=ax+b$ şeklinde) olacaktır ve bu doğru eğik asimptotu oluşturur. Bu seçenek kesinlikle doğrudur.
Düşey asimptotlar, paydanın sıfır olduğu (ve payı sıfır yapmayan) $x$ değerlerinde oluşur. Payın derecesinin paydadan 1 fazla olması, paydanın kökleri hakkında bize bilgi vermez. Paydanın gerçek kökleri olabilir de olmayabilir de. Örneğin, $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ fonksiyonunda payın derecesi 2, paydanın derecesi 1'dir. Bu fonksiyonun $x=1$ noktasında bir düşey asimptotu vardır. Dolayısıyla, düşey asimptotun kesinlikle olmadığı söylenemez. Bu seçenek yanlıştır.
Bir fonksiyonun x-eksenini kesmesi demek, $f(x)=0$ olması demektir. Bu da $P(x)=0$ anlamına gelir (paydanın sıfır olmadığı durumlar için). Payın derecesinin paydadan 1 fazla olması, pay polinomunun kökleri hakkında bize kesin bir bilgi vermez. Pay polinomunun gerçek kökleri olabilir ve bu durumda fonksiyon x-eksenini keser. Örneğin, $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ fonksiyonunda payın derecesi 2, paydanın derecesi 1'dir. $f(0)=0$ olduğu için fonksiyon x-eksenini $x=0$ noktasında keser. Dolayısıyla, x-eksenini kesinlikle kesmez denemez. Bu seçenek yanlıştır.
Yukarıdaki analizler sonucunda, verilen koşul altında kesinlikle doğru olan seçeneğin eğik asimptotun varlığı olduğu görülmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
