10. Sınıf Koşullu Göreli Sıklık Test 1

Bir fabrikada üretilen ürünlerin %80'i A makinesinde, %20'si B makinesinde üretilmektedir. A makinesinde üretilenlerin %5'i, B makinesinde üretilenlerin ise %10'u hatalıdır. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olduğu bilindiğine göre, bu ürünün B makinesinde üretilmiş olma olasılığı kaçtır?

A) \( \frac{1}{3} \)
B) \( \frac{2}{5} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) \( \frac{3}{5} \)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde koşullu olasılık kavramını kullanarak bir ürünün hangi makineden geldiğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Olayları Tanımlayalım ve Verilen Olasılıkları Yazalım:

  Öncelikle, problemdeki olayları ve bize verilen olasılıkları net bir şekilde ifade edelim:

  • $A$: Ürünün A makinesinde üretilmesi olayı.
  • $B$: Ürünün B makinesinde üretilmesi olayı.
  • $H$: Ürünün hatalı olması olayı.

  Verilen olasılıklar şunlardır:

  • A makinesinde üretim olasılığı: $P(A) = 0.80$ (yani %80)
  • B makinesinde üretim olasılığı: $P(B) = 0.20$ (yani %20)
  • A makinesinde üretilenlerin hatalı olma olasılığı: $P(H|A) = 0.05$ (yani %5)
  • B makinesinde üretilenlerin hatalı olma olasılığı: $P(H|B) = 0.10$ (yani %10)

  Bizden istenen, rastgele seçilen bir ürünün hatalı olduğu bilindiğine göre, bu ürünün B makinesinde üretilmiş olma olasılığıdır. Yani $P(B|H)$ değerini bulmalıyız.

• 2. Her Bir Makineden Gelen Hatalı Ürünlerin Olasılığını Bulalım:

  Şimdi, toplam hatalı ürün olasılığını bulmak için, her bir makineden gelen hatalı ürünlerin olasılığını ayrı ayrı hesaplayalım:

  • A makinesinden gelen hatalı ürün olasılığı ($P(H \cap A)$):
    Bu, hem A makinesinde üretilen hem de hatalı olan ürünlerin olasılığıdır. Bunu $P(H|A) \cdot P(A)$ formülüyle buluruz.
    $P(H \cap A) = P(H|A) \cdot P(A) = 0.05 \cdot 0.80 = 0.04$
  • B makinesinden gelen hatalı ürün olasılığı ($P(H \cap B)$):
    Bu da hem B makinesinde üretilen hem de hatalı olan ürünlerin olasılığıdır. Bunu $P(H|B) \cdot P(B)$ formülüyle buluruz.
    $P(H \cap B) = P(H|B) \cdot P(B) = 0.10 \cdot 0.20 = 0.02$
• 3. Toplam Hatalı Ürün Olasılığını ($P(H)$) Bulalım:

  Fabrikada üretilen herhangi bir ürünün hatalı olma olasılığı, A makinesinden gelen hatalı ürün olasılığı ile B makinesinden gelen hatalı ürün olasılığının toplamıdır:

  • $P(H) = P(H \cap A) + P(H \cap B)$
  • $P(H) = 0.04 + 0.02 = 0.06$

  Yani, rastgele seçilen bir ürünün hatalı olma olasılığı %6'dır.

• 4. Hatalı Ürünün B Makinesinden Gelme Olasılığını ($P(B|H)$) Hesaplayalım:

  Şimdi asıl sorumuza gelelim: Ürünün hatalı olduğu bilindiğine göre, B makinesinde üretilmiş olma olasılığı kaçtır? Bu bir koşullu olasılıktır ve formülü şöyledir:

  • $P(B|H) = \frac{P(H \cap B)}{P(H)}$
  • $P(B|H) = \frac{0.02}{0.06}$
  • $P(B|H) = \frac{2}{6}$
  • $P(B|H) = \frac{1}{3}$

  Bu durumda, hatalı olduğu bilinen bir ürünün B makinesinde üretilmiş olma olasılığı $ \frac{1}{3} $ 'tür.

Cevap A seçeneğidir.