10. Sınıf Koşullu Göreli Sıklık Test 1

Bir hastanede yapılan testte, hastaların %5'inde bir hastalık bulunmaktadır. Testin doğruluk oranı %90'dır. Rastgele seçilen bir hastanın test sonucu pozitif çıktığına göre, gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?

A) \( \frac{19}{100} \)
B) \( \frac{9}{28} \)
C) \( \frac{1}{4} \)
D) \( \frac{5}{19} \)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür olasılık soruları, gerçek hayattaki durumları anlamamıza yardımcı olan çok önemli bir konudur. Adım adım ilerleyerek bu soruyu birlikte çözelim ve mantığını kavrayalım.

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım ve Sembollerle İfade Edelim:

  Öncelikle, soruda bize hangi bilgiler verilmiş, bunları net bir şekilde belirleyelim:

  • Hastalığın görülme olasılığı (hastalık prevalansı): $P(\text{Hasta}) = 5\% = \frac{5}{100} = 0.05$.
  • Hastalığın görülmeme olasılığı: $P(\text{Hasta değil}) = 1 - P(\text{Hasta}) = 1 - 0.05 = 0.95$.
  • Testin doğruluk oranı %90'dır. Bu ifade genellikle iki anlama gelir:
    • Hasta olan bir kişide testin pozitif çıkma olasılığı (Doğru Pozitif Oranı): $P(\text{Pozitif} | \text{Hasta}) = 90\% = \frac{90}{100} = 0.90$.
    • Hasta olmayan bir kişide testin negatif çıkma olasılığı (Doğru Negatif Oranı): $P(\text{Negatif} | \text{Hasta değil}) = 90\% = \frac{90}{100} = 0.90$.
  • Bizim için önemli olan, hasta olmayan bir kişide testin yanlışlıkla pozitif çıkma olasılığıdır (Yanlış Pozitif Oranı): $P(\text{Pozitif} | \text{Hasta değil}) = 1 - P(\text{Negatif} | \text{Hasta değil}) = 1 - 0.90 = 0.10$.

• 2. İstenen Olasılığı Belirleyelim:

  Soru bizden "Rastgele seçilen bir hastanın test sonucu pozitif çıktığına göre, gerçekten hasta olma olasılığı"nı istiyor. Bu, koşullu bir olasılıktır ve $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif})$ şeklinde ifade edilir. Yani, testin pozitif çıktığı bilindiğinde, kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

• 3. Testin Pozitif Çıkma Olasılığını ($P(\text{Pozitif})$) Hesaplayalım:

  Bir hastanın test sonucunun pozitif çıkması iki farklı şekilde gerçekleşebilir:

  • Kişi hastadır VE testi pozitif çıkmıştır (Doğru Pozitif).
  • Kişi hasta değildir VE testi pozitif çıkmıştır (Yanlış Pozitif).

  Bu iki durumu toplarsak, herhangi bir kişinin testinin pozitif çıkma olasılığını buluruz. Matematiksel olarak:

  $P(\text{Pozitif}) = P(\text{Pozitif} | \text{Hasta}) \cdot P(\text{Hasta}) + P(\text{Pozitif} | \text{Hasta değil}) \cdot P(\text{Hasta değil})$

  Şimdi bildiğimiz değerleri yerine koyalım:

  $P(\text{Pozitif}) = (0.90 \cdot 0.05) + (0.10 \cdot 0.95)$

  $P(\text{Pozitif}) = 0.045 + 0.095$

  $P(\text{Pozitif}) = 0.140$

  Yani, rastgele seçilen bir kişinin testinin pozitif çıkma olasılığı $0.140$ veya %14'tür.

• 4. Bayes Teoremini Uygulayarak İstenen Olasılığı Bulalım:

  Şimdi asıl sorumuza dönelim: Testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir? Bunun için Bayes Teoremi'ni kullanırız:

  $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) = \frac{P(\text{Pozitif} | \text{Hasta}) \cdot P(\text{Hasta})}{P(\text{Pozitif})}$

  Hesapladığımız ve bildiğimiz değerleri formülde yerine koyalım:

  $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) = \frac{0.90 \cdot 0.05}{0.140}$

  $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) = \frac{0.045}{0.140}$

• 5. Sonucu Sadeleştirelim:

  Kesri daha anlaşılır bir hale getirmek için pay ve paydayı 1000 ile çarpabiliriz (ondalıklardan kurtulmak için):

  $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) = \frac{45}{140}$

  Şimdi bu kesri sadeleştirelim. Hem 45 hem de 140, 5'e bölünebilir:

  $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) = \frac{45 \div 5}{140 \div 5} = \frac{9}{28}$

Buna göre, rastgele seçilen bir hastanın test sonucu pozitif çıktığında, gerçekten hasta olma olasılığı $ \frac{9}{28} $ olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.