Grad nedir Test 1

f(x,y) = eˣsin(y) fonksiyonu veriliyor. (0,π/2) noktasındaki gradyan vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0,1)
B) (1,0)
C) (1,1)
D) (0,0)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, çok değişkenli bir fonksiyonun gradyan vektörünü nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Gradyan vektörü, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki en hızlı artış yönünü ve oranını gösteren önemli bir kavramdır.

Verilen fonksiyonumuz $f(x,y) = e^x \sin(y)$ ve bizden $(0, \pi/2)$ noktasındaki gradyan vektörünü bulmamız isteniyor.

• 1. Gradyan Vektörünün Tanımı:

  Bir $f(x,y)$ fonksiyonunun gradyan vektörü $\nabla f(x,y)$ ile gösterilir ve fonksiyonun kısmi türevlerinden oluşur. Yani:

  $\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

  Burada $\frac{\partial f}{\partial x}$ fonksiyonun $x$'e göre kısmi türevi, $\frac{\partial f}{\partial y}$ ise $y$'ye göre kısmi türevidir.

• 2. Kısmi Türevleri Hesaplama:

  Şimdi verilen $f(x,y) = e^x \sin(y)$ fonksiyonunun kısmi türevlerini bulalım:

  • $x$'e göre kısmi türev ($\frac{\partial f}{\partial x}$):

    $x$'e göre türev alırken $y$'yi sabit bir sayı gibi kabul ederiz. Bu durumda $\sin(y)$ bir sabittir.

    $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^x \sin(y))$

    $\frac{\partial f}{\partial x} = \sin(y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (e^x)$

    $e^x$'in türevi yine $e^x$ olduğundan:

    $\frac{\partial f}{\partial x} = e^x \sin(y)$

  • $y$'ye göre kısmi türev ($\frac{\partial f}{\partial y}$):

    $y$'ye göre türev alırken $x$'i sabit bir sayı gibi kabul ederiz. Bu durumda $e^x$ bir sabittir.

    $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^x \sin(y))$

    $\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\sin(y))$

    $\sin(y)$'nin türevi $\cos(y)$ olduğundan:

    $\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos(y)$

• 3. Gradyan Vektörünü Oluşturma:

  Bulduğumuz kısmi türevleri kullanarak genel gradyan vektörünü yazalım:

  $\nabla f(x,y) = (e^x \sin(y), e^x \cos(y))$

• 4. Belirtilen Noktada Gradyan Vektörünü Hesaplama:

  Şimdi gradyan vektörünü $(0, \pi/2)$ noktasında değerlendirelim. Yani $x=0$ ve $y=\pi/2$ değerlerini yerine koyalım:

  • Birinci bileşen ($x$ bileşeni): $e^x \sin(y)$

    $e^0 \sin(\pi/2)$

    Biliyoruz ki $e^0 = 1$ ve $\sin(\pi/2) = 1$.

    $1 \cdot 1 = 1$

  • İkinci bileşen ($y$ bileşeni): $e^x \cos(y)$

    $e^0 \cos(\pi/2)$

    Biliyoruz ki $e^0 = 1$ ve $\cos(\pi/2) = 0$.

    $1 \cdot 0 = 0$

  Böylece $(0, \pi/2)$ noktasındaki gradyan vektörü $(1, 0)$ olarak bulunur.

• 5. Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Bulduğumuz $(1,0)$ vektörünü seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $(0,1)$
  • B) $(1,0)$
  • C) $(1,1)$
  • D) $(0,0)$

  Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç B seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap B seçeneğidir.