Bu soruyu çözmek için, skaler fonksiyonların çarpımının gradyanını (nabla operatörü) nasıl hesaplayacağımızı adım adım inceleyelim. Burada $f$ ve $g$ skaler fonksiyonlardır.
- Nabla Operatörü ($\nabla$) Nedir?
$\nabla$ operatörü, bir skaler fonksiyonun gradyanını bulmak için kullanılır. Üç boyutlu Kartezyen koordinatlarda, bir $\phi(x,y,z)$ skaler fonksiyonu için gradyan şu şekilde tanımlanır:
$\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\mathbf{k}$
Burada $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$ birim vektörlerdir ve $\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$, $\frac{\partial}{\partial z}$ kısmi türev operatörleridir.
- $\nabla(f \cdot g)$ İfadesini Açma:
Şimdi, $f \cdot g$ skaler fonksiyonunun gradyanını bulmak için yukarıdaki tanımı uygulayalım:
$\nabla(f \cdot g) = \frac{\partial(f \cdot g)}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial(f \cdot g)}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial(f \cdot g)}{\partial z}\mathbf{k}$
- Kısmi Türevler İçin Çarpım Kuralını Uygulama:
Her bir kısmi türev terimi için çarpım kuralını kullanmamız gerekir. Hatırlayalım ki, $(uv)' = u'v + uv'$. Benzer şekilde, kısmi türevler için de bu kural geçerlidir:
$\frac{\partial(f \cdot g)}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}g + f\frac{\partial g}{\partial x}$
$\frac{\partial(f \cdot g)}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}g + f\frac{\partial g}{\partial y}$
$\frac{\partial(f \cdot g)}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}g + f\frac{\partial g}{\partial z}$
- İfadeleri Birleştirme ve Yeniden Düzenleme:
Bu kısmi türev ifadelerini $\nabla(f \cdot g)$ denklemine geri yerleştirelim:
$\nabla(f \cdot g) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}g + f\frac{\partial g}{\partial x}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}g + f\frac{\partial g}{\partial y}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}g + f\frac{\partial g}{\partial z}\right)\mathbf{k}$
Şimdi terimleri $g$ ve $f$ çarpanlarına göre gruplayalım:
$\nabla(f \cdot g) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}g\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}g\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}g\mathbf{k}\right) + \left(f\frac{\partial g}{\partial x}\mathbf{i} + f\frac{\partial g}{\partial y}\mathbf{j} + f\frac{\partial g}{\partial z}\mathbf{k}\right)$
- Ortak Çarpanları Ayırma:
İlk parantezden $g$ çarpanını, ikinci parantezden $f$ çarpanını dışarı alalım:
$\nabla(f \cdot g) = g\left(\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}\right) + f\left(\frac{\partial g}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial g}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial g}{\partial z}\mathbf{k}\right)$
- Gradiyan Tanımını Geri Uygulama:
Parantez içindeki ifadelerin $\nabla f$ ve $\nabla g$ olduğunu fark edelim:
$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}\right) = \nabla f$
$\left(\frac{\partial g}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial g}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial g}{\partial z}\mathbf{k}\right) = \nabla g$
Bu tanımları yerine koyarsak, sonuca ulaşırız:
$\nabla(f \cdot g) = g\nabla f + f\nabla g$
Bu sonuç, seçenek A'da verilen ifade ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
