Çelişki yöntemiyle ispatta, "p doğru ise q doğrudur" önermesini ispatlamak için aşağıdaki hangi adım izlenir?
A) p doğru ve q yanlış kabul edilir
B) p yanlış ve q doğru kabul edilir
C) p yanlış ve q yanlış kabul edilir
D) p doğru ve q doğru kabul edilir
Çözüm:
Çelişki yöntemiyle ispat (Reductio ad absurdum), bir önermenin doğru olduğunu göstermek için kullanılan güçlü bir matematiksel ispat tekniğidir. Bu yöntemde, ispatlamak istediğimiz önermenin *yanlış* olduğunu varsayarak başlarız. Ardından, bu varsayımın mantıksal olarak bir çelişkiye (yani hem bir şeyin doğru hem de yanlış olmasına) yol açtığını gösteririz. Bu çelişki, başlangıçtaki varsayımımızın hatalı olduğunu, dolayısıyla ispatlamak istediğimiz önermenin doğru olduğunu kanıtlar.
Bizim ispatlamak istediğimiz önerme "$p$ doğru ise $q$ doğrudur" şeklindeki bir koşullu önermedir. Bu önermeyi sembolik olarak $p \implies q$ şeklinde ifade ederiz.
Çelişki yöntemiyle ispatlamak için, $p \implies q$ önermesinin *değilini* (olumsuzunu) doğru kabul etmemiz gerekir. Yani, $p \implies q$ önermesinin yanlış olduğunu varsaymalıyız.
Bir koşullu önerme ($p \implies q$) sadece tek bir durumda yanlıştır: $p$ doğru iken $q$ yanlış olduğunda. Diğer tüm durumlarda ($p$ yanlış iken $q$ doğru, $p$ yanlış iken $q$ yanlış, $p$ doğru iken $q$ doğru), $p \implies q$ önermesi doğrudur.
Bu durumda, $p \implies q$ önermesinin yanlış olduğunu varsaymak, $p$ önermesinin doğru olduğunu ve $q$ önermesinin yanlış olduğunu kabul etmek anlamına gelir. Sembolik olarak, $\neg (p \implies q)$ ifadesi, $p \land \neg q$ ifadesine denktir.
İspatın devamında, $p$ doğru ve $q$ yanlış varsayımından yola çıkarak mantıksal çıkarımlar yaparız ve bilinen bir gerçekle, bir aksiyomla veya başlangıçtaki $p$'nin doğruluğuyla çelişen bir sonuca ulaşmaya çalışırız. Eğer böyle bir çelişki bulursak, bu, ilk varsayımımızın ($p$ doğru ve $q$ yanlış) hatalı olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, "$p$ doğru ise $q$ doğrudur" önermesi doğru olmak zorundadır.
Bu açıklamalara göre, çelişki yöntemiyle "$p$ doğru ise $q$ doğrudur" önermesini ispatlamak için izlenen ilk adım, $p$ doğru ve $q$ yanlış kabul etmektir.
