Bir matematikçi, "Her pozitif tam sayı kendisinden küçük bir tam sayıya bölünemez" önermesini çelişki yöntemiyle ispatlamak istiyor. Hangi varsayım ispatın başlangıcı olmalıdır?
A) Öyle bir pozitif tam sayı vardır ki kendisinden küçük bir tam sayıya bölünebilir
B) Hiçbir pozitif tam sayı kendisinden küçük bir tam sayıya bölünemez
C) Her pozitif tam sayı kendisinden küçük bir tam sayıya bölünebilir
D) Bazı pozitif tam sayılar kendisinden küçük tam sayılara bölünemez
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, matematiksel bir önermeyi "çelişki yöntemiyle" (veya diğer adıyla "olmayana ergi yöntemiyle") ispatlamak için hangi varsayımla başlanması gerektiğini anlamamız isteniyor. Çelişki yöntemi, matematikte çok güçlü ve sıkça kullanılan bir ispat tekniğidir. Şimdi adım adım bu yöntemi ve soruyu inceleyelim:
- 1. Çelişki Yöntemi Nedir?
- Bir önermenin (P) doğru olduğunu ispatlamak için, o önermenin tersinin (değil P, yani $\neg P$) doğru olduğunu varsayarız. Bu varsayımdan yola çıkarak mantıksal adımlarla ilerleriz ve sonunda bilinen bir gerçekle veya kendi içinde bir çelişkiyle karşılaşırız. Bu çelişki, başlangıçtaki varsayımımızın ($\neg P$) yanlış olduğu anlamına gelir. Eğer $\neg P$ yanlışsa, o zaman P doğru olmak zorundadır.
- 2. İspatlanacak Önermeyi (P) Belirleyelim:
- Soruda ispatlanmak istenen önerme şudur: "Her pozitif tam sayı kendisinden küçük bir tam sayıya bölünemez."
- Matematiksel olarak bunu şöyle ifade edebiliriz: Her $n \in \mathbb{Z}^+$ için, $1 \le k < n$ koşulunu sağlayan hiçbir $k \in \mathbb{Z}^+$ tam sayısı yoktur ki $k$ sayısı $n$'yi bölsün. (Yani $k \nmid n$).
- Basitçe: Hiçbir pozitif tam sayı, kendisinden küçük pozitif bir tam sayıya bölünmez.
- 3. Çelişki Yöntemi İçin Başlangıç Varsayımını (Değil P, yani $\neg P$) Bulalım:
- Çelişki yöntemiyle ispatlamak için, ispatlamak istediğimiz önermenin tam tersini (olumsuzunu, değillemesini) doğru kabul ederek işe başlamamız gerekir.
- Önermemiz: "Her pozitif tam sayı kendisinden küçük bir tam sayıya bölünemez." (Bu, genel bir olumsuzluk ifadesidir: "Hiçbir X, Y özelliğine sahip değildir.")
- Bu önermenin tersi ise: "En az bir pozitif tam sayı vardır ki kendisinden küçük bir tam sayıya bölünebilir." (Bu, varoluşsal bir olumluluk ifadesidir: "En az bir X, Y özelliğine sahiptir.")
- Yani, "Her" ifadesinin tersi "En az bir" veya "Öyle bir... vardır ki" ifadesidir. "Bölünemez" ifadesinin tersi ise "Bölünebilir" ifadesidir.
- Bu durumda, ispatın başlangıcında yapmamız gereken varsayım şudur: "Öyle bir pozitif tam sayı vardır ki kendisinden küçük bir tam sayıya bölünebilir."
- 4. Seçenekleri İnceleyelim:
- A) Öyle bir pozitif tam sayı vardır ki kendisinden küçük bir tam sayıya bölünebilir
- Bu ifade, yukarıda bulduğumuz $\neg P$ ile tamamen aynıdır. Bu, çelişki yöntemiyle ispatın başlangıç varsayımı olmalıdır.
- B) Hiçbir pozitif tam sayı kendisinden küçük bir tam sayıya bölünemez
- Bu ifade, ispatlamak istediğimiz orijinal önermenin (P) kendisidir. Çelişki yönteminde bu ifadeyi doğru varsayarak değil, yanlış varsayarak başlarız.
- C) Her pozitif tam sayı kendisinden küçük bir tam sayıya bölünebilir
- Bu ifade, orijinal önermenin (P) çok daha güçlü bir tersidir. $\neg P$ sadece "en az bir" böyle sayının varlığını söylerken, bu seçenek "her" sayının bu özelliğe sahip olduğunu iddia eder. Bu doğru başlangıç varsayımı değildir.
- D) Bazı pozitif tam sayılar kendisinden küçük tam sayılara bölünemez
- Bu ifade, orijinal önermenin (P) bir kısmını veya zayıf bir versiyonunu ifade eder. Orijinal önerme "her" pozitif tam sayı için geçerli olduğunu söylerken, bu seçenek sadece "bazı"ları için geçerli olduğunu belirtir. Bu da doğru başlangıç varsayımı değildir.
Bu analizlere göre, çelişki yöntemiyle ispatın başlangıcı, ispatlanacak önermenin tam tersini varsaymak olmalıdır.
Cevap A seçeneğidir.
