Sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabol şeklinde olan ikinci dereceden bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmamız isteniyor. Görüntü kümesi, fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerlerinin kümesidir. Bir parabolün görüntü kümesini bulmak için tepe noktasının koordinatlarını bilmek çok önemlidir.
- 1. Adım: Fonksiyonun Türünü ve Yönünü Belirleyelim
- Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x + 3$ şeklindedir. Bu, genel olarak $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde yazılan bir ikinci dereceden fonksiyondur (parabol).
- Burada $a = 1$, $b = -4$ ve $c = 3$'tür.
- $x^2$'nin katsayısı olan $a$ değeri $1$'dir ve $a > 0$ olduğu için parabolün kolları yukarıya doğru açılır. Bu durumda fonksiyonun bir minimum değeri vardır ve bu minimum değer tepe noktasının $y$ koordinatıdır. Görüntü kümesi bu minimum değerden sonsuza kadar uzanır.
- 2. Adım: Tepe Noktasının $x$ Koordinatını Bulalım
- Bir parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı (genellikle $h$ ile gösterilir) $h = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur.
- Verilen fonksiyonda $a = 1$ ve $b = -4$ değerlerini yerine koyarsak:
- $h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
- Yani tepe noktasının $x$ koordinatı $2$'dir.
- 3. Adım: Tepe Noktasının $y$ Koordinatını Bulalım
- Tepe noktasının $y$ koordinatını (genellikle $k$ ile gösterilir) bulmak için, bulduğumuz $x$ koordinatını ($h$) fonksiyonda yerine yazarız: $k = f(h)$.
- $k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3$
- $k = 4 - 8 + 3$
- $k = -4 + 3$
- $k = -1$.
- Yani tepe noktasının $y$ koordinatı $-1$'dir. Bu, fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir.
- 4. Adım: Görüntü Kümesini Belirleyelim
- Parabolün kolları yukarıya doğru açıldığı ve fonksiyonun alabileceği en küçük değer $-1$ olduğu için, fonksiyonun görüntü kümesi $[-1, \infty)$ aralığıdır. Yani fonksiyonun $y$ değerleri $-1$'e eşit veya daha büyük olabilir.
Cevap A seçeneğidir.
