Bir toplulukta İngilizce bilenlerin sayısı 30, Fransızca bilenlerin sayısı 25'tir. Her iki dili bilenlerin sayısı 10 olduğuna göre, bu toplulukta en az bir dil bilen kaç kişi vardır?
A) 45Bu soruda, bir toplulukta İngilizce ve Fransızca bilen kişilerin sayıları verilmiş. Bizden istenen ise, bu toplulukta en az bir dil bilen toplam kişi sayısıdır. Bu tür problemleri küme teorisi prensiplerini kullanarak kolayca çözebiliriz.
Soruda bize şu bilgiler verilmiştir:
İngilizce bilenlerin sayısı (İ): 30 kişi
Fransızca bilenlerin sayısı (F): 25 kişi
Hem İngilizce hem de Fransızca bilenlerin sayısı (İ $\cap$ F): 10 kişi
Unutmayalım ki, İngilizce bilen 30 kişinin içinde, aynı zamanda Fransızca da bilen 10 kişi zaten bulunmaktadır. Benzer şekilde, Fransızca bilen 25 kişinin içinde de bu 10 kişi vardır.
Bizden istenen, en az bir dil bilen kişi sayısıdır. Bu ifade, sadece İngilizce bilenleri, sadece Fransızca bilenleri ve her iki dili bilenleri kapsayan toplam kişi sayısını bulmamız gerektiği anlamına gelir. Küme teorisinde bu, iki kümenin birleşimi ($İ \cup F$) olarak ifade edilir.
İki kümenin birleşimindeki eleman sayısını bulmak için kullandığımız genel bir formül vardır:
Eğer A ve B iki küme ise, A veya B'de bulunan elemanların sayısı şu formülle bulunur:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Bu formül, her iki kümede de bulunan elemanların (kesişim) iki kez sayılmasını engellemek için kullanılır. Yani, İngilizce bilenleri ve Fransızca bilenleri topladığımızda, her iki dili bilenleri iki kere saymış oluruz. Bu yüzden bir kez çıkarmamız gerekir.
Şimdi verilen değerleri formülümüze yerleştirelim:
$|İngilizce \cup Fransızca| = |İngilizce| + |Fransızca| - |İngilizce \cap Fransızca|$
$|İngilizce \cup Fransızca| = 30 + 25 - 10$
Formülü uygulayarak hesaplamayı adım adım yapalım:
Önce toplama işlemini yapalım: $30 + 25 = 55$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $55 - 10 = 45$
Bu toplulukta en az bir dil bilen kişi sayısı 45'tir.
Cevap A seçeneğidir.
