Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematikten, %70'i fizikten başarılıdır. Her iki dersten başarısız olan öğrenci olmadığına göre, her iki dersten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi kaçtır?
A) %10
B) %20
C) %30
D) %40
Sevgili öğrenciler, bu tür yüzde problemleri genellikle kümeler ve Venn şemaları ile kolayca çözülebilir. Adım adım ilerleyelim:
- Tüm Öğrenciler: Bir sınıftaki tüm öğrencilerin yüzdesi her zaman %100'dür. Bu bizim referans noktamızdır.
- Verilen Bilgiler: Matematikten başarılı olanların yüzdesi %60, fizikten başarılı olanların yüzdesi %70'tir. Ayrıca, soruda "Her iki dersten başarısız olan öğrenci olmadığına göre" ifadesi yer almaktadır.
- Her İki Dersten Başarısız Olmayanlar Ne Anlama Gelir? Eğer hiçbir öğrenci her iki dersten de başarısız değilse, bu demektir ki her öğrenci en az bir dersten başarılıdır. Yani, matematikten başarılı olanlar kümesi ile fizikten başarılı olanlar kümesinin birleşimi, tüm sınıfı (%100) oluşturur. Matematiksel olarak, $P(\text{Matematik} \cup \text{Fizik}) = 100\%$ diyebiliriz.
- Kümeler Formülü: İki kümenin birleşiminin yüzdesini bulmak için kullandığımız genel bir formül vardır: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Burada $P(A \cup B)$ 'A veya B'den başarılı olanlar', $P(A)$ 'A'dan başarılı olanlar', $P(B)$ 'B'den başarılı olanlar' ve $P(A \cap B)$ 'hem A hem de B'den başarılı olanlar' anlamına gelir.
- Değerleri Yerine Koyalım: Bizim durumumuzda, $P(\text{Matematik} \cup \text{Fizik}) = 100\%$ (çünkü her iki dersten başarısız olan yok), $P(\text{Matematik}) = 60\%$ ve $P(\text{Fizik}) = 70\%$ olarak verilmiştir. Aradığımız şey ise $P(\text{Matematik} \cap \text{Fizik})$ yani her iki dersten başarılı olanların yüzdesidir.
- Hesaplama: Kümeler formülünü kullanarak değerleri yerine yazalım: $100\% = 60\% + 70\% - P(\text{Matematik} \cap \text{Fizik})$. Bu denklemi düzenlersek: $100\% = 130\% - P(\text{Matematik} \cap \text{Fizik})$. Şimdi $P(\text{Matematik} \cap \text{Fizik})$'i yalnız bırakalım: $P(\text{Matematik} \cap \text{Fizik}) = 130\% - 100\%$. Sonuç olarak, $P(\text{Matematik} \cap \text{Fizik}) = 30\%$ bulunur.
Bu durumda, öğrencilerin %30'u hem matematikten hem de fizikten başarılıdır.
Cevap C seçeneğidir.
