''Eğer $x^2 > 4$ ise, $x > 2$ veya $x < -2$'' önermesinin karşıt tersini yazınız.
A) Eğer $x \leq 2$ ve $x \geq -2$ ise, $x^2 \leq 4$Bugün sizlerle mantık konusundaki önemli kavramlardan biri olan karşıt ters (kontrapozitif) önermeyi inceleyeceğiz. Bir önermenin karşıt tersini bulmak, mantıksal çıkarım yaparken ve matematiksel ispatlarda sıkça kullandığımız bir yöntemdir. Hadi sorumuzu adım adım çözelim.
1. Adım: Verilen Önermeyi Tanımlayalım
Bize verilen önerme şu şekildedir: "Eğer $x^2 > 4$ ise, $x > 2$ veya $x < -2$".
Bu önerme, genel olarak "Eğer P ise Q" şeklinde ifade edilebilir. Burada:
P önermesi: $x^2 > 4$
Q önermesi: $x > 2$ veya $x < -2$
2. Adım: Karşıt Ters Önermenin Yapısını Hatırlayalım
"Eğer P ise Q" şeklindeki bir önermenin karşıt tersi, "Eğer Q' ise P'" şeklindedir. Burada $P'$ (P üssü) ve $Q'$ (Q üssü), P ve Q önermelerinin değillerini (negasyonlarını) temsil eder.
3. Adım: P Önermesinin Değilini (P') Bulalım
P önermesi: $x^2 > 4$
Bir eşitsizliğin değili, eşitsizlik yönünü tersine çevirir ve eşitlik durumunu da içerir. Yani 'büyüktür' ($>$) işaretinin değili 'küçük eşittir' ($\leq$) olur.
P' önermesi: $x^2 \leq 4$
4. Adım: Q Önermesinin Değilini (Q') Bulalım
Q önermesi: $x > 2$ veya $x < -2$
"Veya" bağlacı ile bağlanmış iki önermenin değilini alırken De Morgan Kurallarını kullanırız: $(A \text{ veya } B)' \equiv A' \text{ ve } B'$.
$(x > 2)'$ ifadesinin değili $x \leq 2$ olur.
$(x < -2)'$ ifadesinin değili $x \geq -2$ olur.
Bu durumda, Q önermesinin değili (Q') şu şekilde olacaktır:
Q' önermesi: $x \leq 2$ ve $x \geq -2$
Bu ifade, $x$'in $-2$ ile $2$ arasında veya bu sayılara eşit olduğu aralığı temsil eder. Yani $-2 \leq x \leq 2$ demektir.
5. Adım: Karşıt Ters Önermeyi Oluşturalım
Şimdi bulduğumuz $Q'$ ve $P'$ önermelerini "Eğer Q' ise P'" yapısına yerleştirelim:
"Eğer ($x \leq 2$ ve $x \geq -2$) ise ($x^2 \leq 4$)"
Yani, "Eğer $x \leq 2$ ve $x \geq -2$ ise, $x^2 \leq 4$".
6. Adım: Seçenekleri Kontrol Edelim
Bulduğumuz karşıt ters önermeyi seçeneklerle karşılaştıralım:
A) Eğer $x \leq 2$ ve $x \geq -2$ ise, $x^2 \leq 4$ - Bu, bizim bulduğumuz ifadeyle tamamen aynıdır.
B) Eğer $x > 2$ veya $x < -2$ ise, $x^2 > 4$ - Bu, orijinal önermenin kendisidir.
C) Eğer $x \leq 2$ veya $x \geq -2$ ise, $x^2 \leq 4$ - Q' önermesindeki "ve" bağlacı yerine "veya" kullanılmıştır, bu yanlıştır.
D) Eğer $x^2 \leq 4$ ise, $x \leq 2$ ve $x \geq -2$ - Bu, orijinal önermenin karşıtıdır (tersi değil).
Gördüğünüz gibi, doğru seçenek A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
