Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir üreticinin gelir ve maliyet fonksiyonları verilmiş. Bizden, karın maksimum olması için aylık ne kadar üretim yapılması gerektiğini bulmamız isteniyor. Bu tür optimizasyon problemlerini çözmek için türev alma yöntemini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Kar Fonksiyonunu Oluşturma:
- Öncelikle, kar fonksiyonunu (P(x)) bulmamız gerekiyor. Kar, gelirden maliyetin çıkarılmasıyla elde edilir. Yani, $P(x) = R(x) - C(x)$ formülüyle hesaplanır.
- Bize verilen fonksiyonlar:
- Gelir fonksiyonu: $R(x) = 40x - 0.1x^2$
- Maliyet fonksiyonu: $C(x) = 500 + 10x$
- Şimdi bu fonksiyonları kar fonksiyonunda yerine yazalım:
- $P(x) = (40x - 0.1x^2) - (500 + 10x)$
- Parantezleri açıp benzer terimleri birleştirelim:
- $P(x) = 40x - 0.1x^2 - 500 - 10x$
- $P(x) = -0.1x^2 + (40x - 10x) - 500$
- $P(x) = -0.1x^2 + 30x - 500$
- İşte bu bizim kar fonksiyonumuzdur.
- 2. Maksimum Kar İçin Türev Alma:
- Bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulmak için, o fonksiyonun birinci türevini alırız ve sıfıra eşitleriz. Bu bize kritik noktaları verir.
- Kar fonksiyonumuz $P(x) = -0.1x^2 + 30x - 500$ idi. Şimdi bunun x'e göre türevini alalım ($P'(x)$):
- $P'(x) = \frac{d}{dx}(-0.1x^2 + 30x - 500)$
- $P'(x) = -0.1 \cdot (2x) + 30 - 0$
- $P'(x) = -0.2x + 30$
- Şimdi, maksimum kar için bu türevi sıfıra eşitleyelim:
- $-0.2x + 30 = 0$
- $30 = 0.2x$
- x'i bulmak için her iki tarafı 0.2'ye bölelim:
- $x = \frac{30}{0.2}$
- $x = \frac{30}{\frac{2}{10}}$
- $x = \frac{30 \cdot 10}{2}$
- $x = \frac{300}{2}$
- $x = 150$
- Bu, karın maksimum olduğu üretim miktarıdır.
- 3. Sonucun Doğrulanması (İsteğe Bağlı ama Önemli):
- Bulduğumuz $x=150$ değerinin gerçekten bir maksimum noktası olduğunu doğrulamak için ikinci türev testini kullanabiliriz. Eğer ikinci türev negatifse, bu bir maksimum noktasıdır.
- Birinci türevimiz $P'(x) = -0.2x + 30$ idi. Şimdi bunun tekrar türevini alalım ($P''(x)$):
- $P''(x) = \frac{d}{dx}(-0.2x + 30)$
- $P''(x) = -0.2$
- Gördüğümüz gibi, $P''(x) = -0.2$ değeri sıfırdan küçüktür (negatiftir). Bu da $x=150$ noktasının gerçekten bir maksimum kar noktası olduğunu doğrular.
Sonuç olarak, üreticinin maksimum kar elde etmesi için aylık 150 birim üretim yapması gerekmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
