9. Sınıf Sayı Kümelerinin Arada Olma Özelliği Test 3

Bir mühendis, bir metal levhanın kenar uzunluğunu 2 birimden büyük, 3 birimden küçük olacak şekilde ayarlamak istemektedir. Ancak ölçüm toleransı nedeniyle tam bir rasyonel sayı olmasını istememektedir. Aşağıdaki sayılardan hangisi bu koşulları sağlayan bir irrasyonel sayı olabilir?

A) $\frac{5}{2}$
B) $\sqrt{5}$
C) $2.5$
D) $\pi$

Bu soruda, bir mühendis bir metal levhanın kenar uzunluğunu belirli koşulları sağlayacak şekilde ayarlamak istemektedir. Bu koşullar şunlardır:

• Kenar uzunluğu 2 birimden büyük ve 3 birimden küçük olmalıdır. Matematiksel olarak ifade edersek, $2 < \text{kenar uzunluğu} < 3$ olmalıdır.
• Ölçüm toleransı nedeniyle tam bir rasyonel sayı olmaması, yani bir irrasyonel sayı olması istenmektedir.

Şimdi verilen seçenekleri tek tek inceleyerek bu iki koşulu sağlayanı bulalım:

• A) $\frac{5}{2}$

  Bu sayının değeri $5 \div 2 = 2.5$'tir. $2 < 2.5 < 3$ koşulunu sağlar, yani 2 ile 3 arasındadır. Ancak, $\frac{5}{2}$ bir kesir (iki tam sayının oranı) olduğu için bir rasyonel sayıdır. Soruda irrasyonel sayı olması istenmektedir. Bu nedenle A seçeneği doğru değildir.

• B) $\sqrt{5}$

  Öncelikle bu sayının 2 ile 3 arasında olup olmadığını kontrol edelim:

  • $2^2 = 4$
  • $3^2 = 9$
  • $4 < 5 < 9$ olduğu için, kareköklerini aldığımızda $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ olur.
  • Bu da $2 < \sqrt{5} < 3$ anlamına gelir. Yani, bu sayı 2 ile 3 arasında olma koşulunu sağlar.

  İkinci olarak, $\sqrt{5}$ bir tam kare olmayan bir sayının karekökü olduğu için bir irrasyonel sayıdır. Yani, ondalık gösterimi tekrarsız ve sonsuzdur.

  Hem 2 ile 3 arasında olma hem de irrasyonel olma koşullarını sağladığı için B seçeneği doğru cevaptır.

• C) $2.5$

  Bu sayının değeri $2.5$'tir. $2 < 2.5 < 3$ koşulunu sağlar, yani 2 ile 3 arasındadır. Ancak, $2.5$ sayısı $\frac{25}{10}$ veya $\frac{5}{2}$ şeklinde yazılabildiği için bir rasyonel sayıdır. Soruda irrasyonel sayı olması istenmektedir. Bu nedenle C seçeneği doğru değildir. (Bu sayı A seçeneği ile aynıdır.)

• D) $\pi$

  $\pi$ (pi) sayısının yaklaşık değeri $3.14159...$'dir. Bu sayı 2 ile 3 arasında değildir, çünkü $3.14159... > 3$'tür. $\pi$ bir irrasyonel sayı olmasına rağmen, ilk koşulu (2 ile 3 arasında olma) sağlamaz. Bu nedenle D seçeneği doğru değildir.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, hem 2 birimden büyük hem de 3 birimden küçük olan ve aynı zamanda irrasyonel olan sayı $\sqrt{5}$'tir.

Cevap B seçeneğidir.