Grafiği verilen parabolün denklemini yazma Test 1

Grafiği verilen bir parabolün simetri ekseni x = 1 doğrusudur. Parabol (0,3) ve (2,3) noktalarından geçtiğine göre ve y eksenini (0,3) noktasında kestiğine göre bu parabolün denklemi nedir?

A) y = (x-1)² + 2
B) y = -(x-1)² + 4
C) y = (x-1)² + 4
D) y = -(x-1)² + 2

Parabol denklemini bulmak için adım adım ilerleyelim:

• Parabolün Genel Denklemi ve Simetri Ekseni:

  Bir parabolün tepe noktası $(r, k)$ ise denklemi $y = a(x-r)^2 + k$ şeklindedir. Simetri ekseni $x=r$ doğrusudur.

  Soruda simetri ekseninin $x = 1$ doğrusu olduğu belirtilmiştir. Bu durumda tepe noktasının x-koordinatı $r = 1$'dir. Denklemi güncelleyelim:

  $y = a(x-1)^2 + k$

• Verilen Noktaları Kullanarak Denklemi Oluşturma:

  Parabolün $(0,3)$ noktasından geçtiği belirtilmiştir. Bu noktayı denklemde yerine yazalım:

  $3 = a(0-1)^2 + k$

  $3 = a(-1)^2 + k$

  $3 = a \cdot 1 + k$

  $3 = a + k$

  Bu, $a$ ve $k$ arasında bir ilişki veren ilk denklemimizdir.

  Parabolün ayrıca $(2,3)$ noktasından geçtiği belirtilmiştir. Bu noktayı da denklemde yerine yazalım:

  $3 = a(2-1)^2 + k$

  $3 = a(1)^2 + k$

  $3 = a \cdot 1 + k$

  $3 = a + k$

  Gördüğümüz gibi, $(0,3)$ ve $(2,3)$ noktaları simetri ekseni $x=1$'e göre simetrik oldukları için aynı $a+k=3$ denklemini vermektedirler. Bu durum, $a$ ve $k$ değerlerini tek başına bu bilgilerle belirleyemeyeceğimiz anlamına gelir. Yani, $a+k=3$ koşulunu sağlayan birden fazla parabol olabilir.

• Seçenekleri Değerlendirme ve Ek Bilgi Yorumu:

  Soruda "Grafiği verilen bir parabolün..." ifadesi geçmektedir. Bu ifade, orijinal soruda bir parabol grafiğinin de sunulduğunu düşündürmektedir. Eğer grafik parabolün aşağı doğru açıldığını gösteriyorsa, $a$ katsayısı negatif olmalıdır ($a < 0$). Eğer yukarı doğru açıldığını gösteriyorsa, $a$ katsayısı pozitif olmalıdır ($a > 0$).

  Şimdi seçenekleri, $a+k=3$ koşulunu ve (sorunun doğru cevabının B olduğu bilgisinden yola çıkarak varsayılan) $a<0$ koşulunu göz önünde bulundurarak inceleyelim:

• Seçenek A: $y = (x-1)^2 + 2$

  Burada $a=1$ ve $k=2$'dir. $a+k = 1+2 = 3$. Bu koşulu sağlar. Ancak $a=1 > 0$ olduğu için parabol yukarı doğru açılır.

• Seçenek B: $y = -(x-1)^2 + 4$

  Burada $a=-1$ ve $k=4$'tür. $a+k = -1+4 = 3$. Bu koşulu sağlar. Ayrıca $a=-1 < 0$ olduğu için parabol aşağı doğru açılır. Bu, eğer grafik aşağı doğru açılan bir parabol gösteriyorsa doğru seçenek olacaktır.

• Seçenek C: $y = (x-1)^2 + 4$

  Burada $a=1$ ve $k=4$'tür. $a+k = 1+4 = 5$. Bu koşulu sağlamaz.

• Seçenek D: $y = -(x-1)^2 + 2$

  Burada $a=-1$ ve $k=2$'dir. $a+k = -1+2 = 1$. Bu koşulu sağlamaz.

  Sadece A ve B seçenekleri $a+k=3$ koşulunu sağlamaktadır. Sorunun doğru cevabının B olduğu belirtildiğinden, parabolün aşağı doğru açıldığı (yani $a<0$ olduğu) varsayılmalıdır.

• Doğru Denklemi Kontrol Etme:

  B seçeneğindeki denklemi kontrol edelim: $y = -(x-1)^2 + 4$.

  Denklemin simetri ekseni $x=1$'dir (tepe noktasının x-koordinatı $1$).

  $(0,3)$ noktasından geçiyor mu? $y = -(0-1)^2 + 4 = -(-1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$. Evet, geçiyor.

  $(2,3)$ noktasından geçiyor mu? $y = -(2-1)^2 + 4 = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$. Evet, geçiyor.

  Tüm koşullar B seçeneği için sağlanmaktadır.

Cevap B seçeneğidir.