Bir koşu pistinde iki atlet aynı noktadan aynı anda koşmaya başlıyor. Birinci atlet turu 90 saniyede, ikinci atlet ise 120 saniyede tamamlıyor. İlk kez birlikte başladıkları noktadan tekrar birlikte geçmeleri için kaç saniye geçmesi gerekir?
A) 180
B) 240
C) 360
D) 480
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, iki atletin farklı hızlarda koştuğunu ve başlangıç noktasından aynı anda yola çıktıklarını görüyoruz. Bize sorulan şey, bu iki atletin ilk kez tekrar başlangıç noktasında birlikte olmaları için ne kadar süre geçmesi gerektiği.
Bu tür problemler, matematikte "En Küçük Ortak Kat" (EKOK) kavramıyla çözülür. Gelin, adım adım bu problemi çözelim:
-
1. Problemi Anlayalım:
- Birinci atlet her 90 saniyede bir turu tamamlıyor ve başlangıç noktasına geri dönüyor. Yani, başlangıç noktasında olduğu zamanlar 90, 180, 270, 360, ... gibi 90'ın katlarıdır.
- İkinci atlet her 120 saniyede bir turu tamamlıyor ve başlangıç noktasına geri dönüyor. Yani, başlangıç noktasında olduğu zamanlar 120, 240, 360, 480, ... gibi 120'nin katlarıdır.
- İkisinin de aynı anda başlangıç noktasında olması için geçen sürenin hem 90'ın hem de 120'nin bir katı olması gerekir.
- "İlk kez birlikte" dediği için, bu ortak katların en küçüğünü bulmalıyız. İşte bu da bize En Küçük Ortak Kat (EKOK) kavramını işaret eder.
-
2. En Küçük Ortak Kat (EKOK) Nedir?
- EKOK, iki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük olanıdır. Örneğin, 2 ve 3'ün katları: 2'nin katları (2, 4, 6, 8, ...), 3'ün katları (3, 6, 9, 12, ...). Ortak katlar 6, 12, ... ve bunların en küçüğü 6'dır.
-
3. 90 ve 120 Sayılarının EKOK'unu Bulalım:
- EKOK bulmanın en yaygın yollarından biri, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır.
- 90'ın asal çarpanları:
- $90 = 2 \times 45$
- $45 = 3 \times 15$
- $15 = 3 \times 5$
- Yani, $90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
- 120'nin asal çarpanları:
- $120 = 2 \times 60$
- $60 = 2 \times 30$
- $30 = 2 \times 15$
- $15 = 3 \times 5$
- Yani, $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
- EKOK'u bulmak için: Her asal çarpanın en büyük üslü olanını alırız ve çarparız.
- '2' asal çarpanı için: $2^3$ (çünkü 120'de $2^3$ var, 90'da $2^1$ var)
- '3' asal çarpanı için: $3^2$ (çünkü 90'da $3^2$ var, 120'de $3^1$ var)
- '5' asal çarpanı için: $5^1$ (her ikisinde de $5^1$ var)
- EKOK$(90, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
- EKOK$(90, 120) = 8 \times 9 \times 5$
- EKOK$(90, 120) = 72 \times 5$
- EKOK$(90, 120) = 360$
-
4. Sonucu Yorumlayalım:
- Bulduğumuz EKOK değeri 360 saniyedir. Bu, 360 saniye sonra hem birinci atletin hem de ikinci atletin başlangıç noktasında olacağı anlamına gelir.
- Kontrol edelim:
- Birinci atlet 360 saniyede $360 / 90 = 4$ tur atmış olur.
- İkinci atlet 360 saniyede $360 / 120 = 3$ tur atmış olur.
- Gördüğümüz gibi, 360 saniye sonra her iki atlet de başlangıç noktasında olur ve ilk kez birlikte geçmiş olurlar.
Bu durumda, ilk kez birlikte başladıkları noktadan tekrar birlikte geçmeleri için 360 saniye geçmesi gerekir.
Cevap C seçeneğidir.
