Basit harmonik hareket nedir Test 1

Bir cisim basit harmonik hareket yaparken kinetik enerjisinin potansiyel enerjisine eşit olduğu noktalarda cismin denge konumuna uzaklığı genliğin kaç katıdır?

A) 1/4
B) 1/2
C) 1/√2
D) √3/2

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda basit harmonik hareket yapan bir cismin kinetik enerjisinin potansiyel enerjisine eşit olduğu noktayı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Basit Harmonik Harekette Enerji Formülleri:

  Basit harmonik hareket yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi (E), kinetik enerjisi (KE) ve potansiyel enerjisi (PE) aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

  • Toplam Mekanik Enerji: $E = \frac{1}{2}kA^2$ (Burada $k$ yay sabiti, $A$ ise genliktir.)
  • Potansiyel Enerji: $PE = \frac{1}{2}kx^2$ (Burada $x$ denge konumundan uzaklıktır.)
  • Kinetik Enerji: $KE = E - PE = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$

  Unutmayın, toplam enerji hareket boyunca sabittir ve cismin maksimum potansiyel enerjisine (genlikte) veya maksimum kinetik enerjisine (denge konumunda) eşittir.

• Soruda Verilen Koşulu Uygulama:

  Soruda bizden kinetik enerjinin potansiyel enerjiye eşit olduğu noktayı bulmamız isteniyor. Yani $KE = PE$ koşulunu sağlamalıyız.

  Formülleri yerine yazarsak:

  $\frac{1}{2}k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}kx^2$

• Denklemi Çözme:

  Şimdi bu denklemi $x$ cinsinden çözerek denge konumuna olan uzaklığı genlik cinsinden bulalım:

  • Denklemin her iki tarafındaki $\frac{1}{2}k$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
  • $A^2 - x^2 = x^2$
  • $-x^2$ terimini eşitliğin sağ tarafına atalım:
  • $A^2 = x^2 + x^2$
  • $A^2 = 2x^2$
  • Şimdi $x^2$ ifadesini yalnız bırakalım:
  • $x^2 = \frac{A^2}{2}$
  • Her iki tarafın karekökünü alarak $x$ değerini bulalım:
  • $x = \sqrt{\frac{A^2}{2}}$
  • $x = \frac{\sqrt{A^2}}{\sqrt{2}}$
  • $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$

• Sonuç:

  Buna göre, cismin kinetik enerjisinin potansiyel enerjisine eşit olduğu noktalarda, cismin denge konumuna uzaklığı genliğin $1/\sqrt{2}$ katıdır.

Cevap C seçeneğidir.