Mutlak değer fonksiyonunun türevi Test 1

y = |sin(x)| fonksiyonunun x = π noktasındaki türevi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Türev 1'dir
B) Türev -1'dir
C) Türev 0'dır
D) Türev yoktur

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda $y = |\sin(x)|$ fonksiyonunun $x = \pi$ noktasındaki türevini bulmamız isteniyor. Mutlak değer içeren fonksiyonların türevini alırken, mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini dikkatlice incelememiz gerekir. Adım adım ilerleyelim:

• Fonksiyonu ve İlgili Noktayı Anlayalım:

  Verilen fonksiyon $y = |\sin(x)|$ ve türevini aradığımız nokta $x = \pi$.

• Mutlak Değer Fonksiyonunun Tanımını Hatırlayalım:

  Bir $u$ ifadesi için $|u|$ fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:

  • Eğer $u \ge 0$ ise, $|u| = u$.
  • Eğer $u < 0$ ise, $|u| = -u$.
• $\sin(x)$ İfadesinin $x = \pi$ Çevresindeki İşaretini İnceleyelim:

  Öncelikle $x = \pi$ noktasında $\sin(\pi) = 0$ olduğunu biliyoruz. Şimdi $x = \pi$ noktasının hemen solunda ve hemen sağında $\sin(x)$'in işaretine bakalım:

  • $x < \pi$ (fakat $\pi$'ye çok yakın değerler için, örneğin $x = \pi - 0.1$): $\sin(x)$ pozitif değerler alır (çünkü ikinci bölgedeyiz). Yani $\sin(x) > 0$.
  • $x > \pi$ (fakat $\pi$'ye çok yakın değerler için, örneğin $x = \pi + 0.1$): $\sin(x)$ negatif değerler alır (çünkü üçüncü bölgedeyiz). Yani $\sin(x) < 0$.
• $y = |\sin(x)|$ Fonksiyonunu $x = \pi$ Çevresinde Yeniden Yazalım:

  Yukarıdaki işaret incelemesine göre, fonksiyonu mutlak değerden kurtarabiliriz:

  • Eğer $x < \pi$ ise, $\sin(x) > 0$ olduğundan $y = |\sin(x)| = \sin(x)$.
  • Eğer $x > \pi$ ise, $\sin(x) < 0$ olduğundan $y = |\sin(x)| = -\sin(x)$.
• Sol Taraftan Türevi Hesaplayalım ($x \to \pi^-$):

  $x < \pi$ için fonksiyonumuz $y = \sin(x)$ idi. Bu fonksiyonun türevi $y' = \cos(x)$'tir.

  $x = \pi$ noktasındaki sol taraftan türev:

  $f'(\pi^-) = \lim_{x \to \pi^-} \cos(x) = \cos(\pi) = -1$.

• Sağ Taraftan Türevi Hesaplayalım ($x \to \pi^+$):

  $x > \pi$ için fonksiyonumuz $y = -\sin(x)$ idi. Bu fonksiyonun türevi $y' = -\cos(x)$'tir.

  $x = \pi$ noktasındaki sağ taraftan türev:

  $f'(\pi^+) = \lim_{x \to \pi^+} (-\cos(x)) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$.

• Sol ve Sağ Taraftan Türevleri Karşılaştıralım:

  Gördüğümüz gibi, sol taraftan türev $f'(\pi^-) = -1$ iken, sağ taraftan türev $f'(\pi^+) = 1$'dir.

  Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilmesi için, o noktadaki sol ve sağ taraftan türevlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bu durumda $-1 \ne 1$ olduğundan, $y = |\sin(x)|$ fonksiyonunun $x = \pi$ noktasında türevi yoktur.

Bu tür mutlak değerli fonksiyonların türevinin olmadığı noktalar genellikle mutlak değerin içindeki ifadenin sıfır olduğu ve bu noktada işaret değiştirdiği yerlerdir. $x = \pi$ noktasında $\sin(x)$ sıfır olmakla kalmayıp, bu noktanın solunda pozitif, sağında negatif değerler alarak işaret değiştirmektedir. Bu durum, fonksiyonun grafiğinde $x = \pi$ noktasında bir "köşe" veya "kırılma" noktası oluşturur, bu da türevin var olmaması anlamına gelir.

Cevap D seçeneğidir.