ln(1) kaçtır Test 1

\( \ln(a) + \ln(b) = 0 \) ve \( a > 0, b > 0 \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?

A) 0
B) 1
C) e
D) 10

Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek logaritma özelliklerini pekiştirelim.

• Adım 1: Logaritma Toplama Özelliğini Hatırlayalım

Logaritmanın temel özelliklerinden biri, aynı tabandaki iki logaritmanın toplamının, içlerindeki sayıların çarpımının logaritmasına eşit olmasıdır. Doğal logaritma ($ \ln $) için bu özellik şöyledir:

$ \ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y) $

Bu özellik, logaritma işlemlerini basitleştirmek için çok önemlidir.

• Adım 2: Verilen Denklemi Basitleştirelim

Soruda bize $ \ln(a) + \ln(b) = 0 $ denklemi verilmiş. Birinci adımda öğrendiğimiz özelliği kullanarak bu denklemi yeniden yazabiliriz:

$ \ln(a \cdot b) = 0 $

Şimdi elimizde daha basit bir denklem var: $ \ln(\text{bir sayı}) = 0 $.

• Adım 3: Logaritmanın Tanımını Kullanarak Çözüme Ulaşalım

Doğal logaritma ($ \ln $) demek, tabanı Euler sayısı olan $ e $ olan logaritma demektir. Yani $ \ln(x) $ aslında $ \log_e(x) $ demektir.

Genel olarak, $ \log_k(m) = n $ ise, bu $ k^n = m $ anlamına gelir. Doğal logaritma için bu tanım şöyledir:

$ \ln(x) = y \implies e^y = x $

Bizim denklemimiz $ \ln(a \cdot b) = 0 $ olduğuna göre, bu tanımı uygulayalım. Burada $ x = a \cdot b $ ve $ y = 0 $.

O halde:

$ e^0 = a \cdot b $

• Adım 4: Sonucu Hesaplayalım

Herhangi bir sayının 0. kuvveti (0 hariç) 1'e eşittir. Yani $ e^0 = 1 $.

Bu durumda, denklemimiz şöyle olur:

$ 1 = a \cdot b $

Böylece $ a \cdot b $ çarpımının değerini bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.