m kütleli bir araba, yarıçapı r olan yatay bir virajda sabit v hızıyla dönmektedir. Araba ile yol arasındaki sürtünme katsayısı μ'dir. Arabanın virajı güvenle dönebilmesi için merkezcil kuvvetin sürtünme kuvvetine eşit olması gerektiğine göre, maksimum hız ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( v_{maks} = \sqrt{\mu g r} \)
B) \( v_{maks} = \mu g r \)
C) \( v_{maks} = \sqrt{\mu g / r} \)
D) \( v_{maks} = \mu g / r \)
Bu problemde, bir arabanın yatay bir virajda güvenle dönebilmesi için gereken maksimum hızı bulmaya çalışıyoruz. Bu tür hareketlerde iki temel kuvvetin dengesini anlamak önemlidir: merkezcil kuvvet ve sürtünme kuvveti. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Arabaya Etki Eden Kuvvetleri Belirleyelim:
- Araba yatay bir yolda olduğu için, yerçekimi kuvveti ($mg$) aşağı doğru, yolun arabaya uyguladığı normal kuvvet ($N$) ise yukarı doğrudur. Dikey yönde bir hareket olmadığı için bu iki kuvvet birbirini dengeler: $N = mg$.
- Arabanın virajda dönmesini sağlayan kuvvet, yol ile tekerlekler arasındaki sürtünme kuvvetidir ($F_s$). Bu kuvvet, virajın merkezine doğru etki eder.
- Arabanın dairesel bir yörüngede kalması için bir merkezcil kuvvete ($F_c$) ihtiyacı vardır. Bu kuvvet de virajın merkezine doğrudur.
- 2. Maksimum Sürtünme Kuvvetini Hesaplayalım:
- Yatay bir yolda, arabanın kaymadan dönebileceği maksimum sürtünme kuvveti, sürtünme katsayısı ($\mu$) ile normal kuvvetin ($N$) çarpımına eşittir.
- $F_{s,maks} = \mu N$
- Normal kuvvetin $N = mg$ olduğunu bildiğimiz için, maksimum sürtünme kuvveti: $F_{s,maks} = \mu mg$ olur.
- 3. Merkezcil Kuvvet İfadesini Yazalım:
- Sabit $v$ hızıyla $r$ yarıçaplı bir virajda dönen $m$ kütleli bir araba için gerekli merkezcil kuvvetin formülü şöyledir:
- $F_c = \frac{mv^2}{r}$
- 4. Güvenli Dönüş Koşulunu Uygulayalım:
- Arabanın virajı güvenle dönebilmesi, yani kaymadan yörüngesinde kalabilmesi için, gerekli merkezcil kuvvetin, yolun sağlayabileceği maksimum sürtünme kuvvetinden daha büyük olmaması gerekir. Maksimum hız durumunda, merkezcil kuvvet tam olarak maksimum sürtünme kuvvetine eşit olacaktır.
- $F_c = F_{s,maks}$
- $\frac{mv_{maks}^2}{r} = \mu mg$
- 5. Maksimum Hız ($v_{maks}$) İçin Çözüm Yapalım:
- Denklemdeki $m$ kütlelerini her iki taraftan sadeleştirebiliriz:
- $\frac{v_{maks}^2}{r} = \mu g$
- Şimdi $v_{maks}^2$ ifadesini yalnız bırakalım:
- $v_{maks}^2 = \mu g r$
- Son olarak, $v_{maks}$'ı bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
- $v_{maks} = \sqrt{\mu g r}$
Bu ifade, arabanın yatay bir virajda kaymadan dönebileceği maksimum hızı vermektedir.
Cevap A seçeneğidir.
