Mantıkta dağılma özelliği nedir Test 1

Bir mantık sorusunda p ∨ (q ∧ r) ifadesinin dağılma özelliği ile eşdeğeri istenmektedir. Doğru eşdeğer ifadeyi bulmak için aşağıdaki adımlardan hangisi izlenmelidir?

A) p ∧ (q ∨ r) yazılmalı
B) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) yazılmalı
C) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) yazılmalı
D) p ∨ q ∨ r yazılmalı

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mantıkta çok önemli bir yere sahip olan dağılma özelliğini kullanarak verilen ifadenin eşdeğerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu özelliği nasıl uygulayacağımızı görelim.

• 1. Adım: Dağılma Özelliğini Hatırlayalım

  Mantıkta iki temel dağılma özelliği vardır:

  • "Ve" ( $\land$ ) işleminin "Veya" ( $\lor$ ) işlemi üzerine dağılması:

    $p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$

  • "Veya" ( $\lor$ ) işleminin "Ve" ( $\land$ ) işlemi üzerine dağılması:

    $p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$

  Gördüğünüz gibi, bu özellikler tıpkı matematikteki çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılması gibidir. Örneğin, $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$.

• 2. Adım: Verilen İfadeyi İnceleyelim

  Soruda bize verilen ifade $p \lor (q \land r)$ şeklindedir.

  Bu ifade, yukarıda bahsettiğimiz ikinci dağılma özelliğine birebir uymaktadır: "Veya" ( $\lor$ ) işleminin "Ve" ( $\land$ ) işlemi üzerine dağılması.

• 3. Adım: Dağılma Özelliğini Uygulayalım

  İfadeyi $p \lor (q \land r)$ olarak alıp, "Veya" işlemini parantez içindeki "Ve" işlemi üzerine dağıttığımızda, $p$ önermesini hem $q$ ile hem de $r$ ile "Veya" işlemiyle birleştirmemiz ve bu iki sonucu "Ve" işlemiyle bağlamamız gerekir.

  Yani:

  $p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$

• 4. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim

  Bulduğumuz eşdeğer ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $p \land (q \lor r)$: Bu, "Ve" işleminin "Veya" işlemi üzerine dağılmasıdır, bizim ifademizle aynı değildir.
  • B) $(p \lor q) \land (p \lor r)$: Bu, bizim dağılma özelliğini uygulayarak bulduğumuz ifadeyle tamamen aynıdır.
  • C) $(p \land q) \lor (p \land r)$: Bu, $p \land (q \lor r)$ ifadesinin dağılmış halidir, bizim ifademizle aynı değildir.
  • D) $p \lor q \lor r$: Bu ifade, dağılma özelliği değil, birleşme özelliği ile ilgili olabilir ve "Ve" bağlacını içermemektedir.

Bu adımları takip ettiğimizde, $p \lor (q \land r)$ ifadesinin dağılma özelliği ile eşdeğerinin $(p \lor q) \land (p \lor r)$ olduğunu açıkça görmüş oluruz.

Cevap B seçeneğidir.