Bir uçak kuzeydoğu yönünde 100√2 km yol almıştır. Buna göre uçağın doğu ve kuzey yönünde aldığı yollar kaçar km'dir?
A) Doğu: 50, Kuzey: 50Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir uçağın belirli bir yönde aldığı toplam yolu biliyoruz ve bu yolun farklı yönlerdeki bileşenlerini bulmamız isteniyor. Haydi bu problemi adım adım çözelim:
Öncelikle yönleri bir koordinat sistemi gibi düşünebiliriz. Genellikle Doğu'yu pozitif x ekseni, Kuzey'i ise pozitif y ekseni olarak kabul ederiz. Kuzeydoğu yönü ise Doğu ile Kuzey'in tam ortasında, yani Doğu ekseniyle $45^\circ$ açı yapan bir yöndür. Uçağın aldığı $100\sqrt{2}$ km'lik yol, bu $45^\circ$'lik açıyla ilerlediği toplam mesafedir.
Uçağın başlangıç noktasından Doğu ve Kuzey yönünde aldığı yollar ile uçağın ulaştığı son nokta arasında bir dik üçgen oluşturabiliriz. Bu üçgende:
Kuzeydoğu yönü, Doğu ve Kuzey yönleri arasında tam ortada olduğu için, bu dik üçgenin Doğu ekseniyle yaptığı açı $45^\circ$ ve Kuzey ekseniyle yaptığı açı da $45^\circ$ olur. Yani bu bir $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ özel dik üçgenidir.
Bir $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ özel dik üçgeninde, $45^\circ$'lik açıların karşısındaki kenarlar birbirine eşittir ve $90^\circ$'lik açının karşısındaki hipotenüs, bu eşit kenarların $\sqrt{2}$ katıdır.
Yani, eğer dik kenarlara $a$ dersek, hipotenüs $a\sqrt{2}$ olur.
Bizim problemimizde hipotenüs $100\sqrt{2}$ km olarak verilmiş. O zaman:
$a\sqrt{2} = 100\sqrt{2}$
Eşitliğin her iki tarafını $\sqrt{2}$ ile bölersek:
$a = 100$ km buluruz.
Bu $a$ değeri, hem Doğu yönünde alınan yolu hem de Kuzey yönünde alınan yolu temsil eder.
Buna göre, uçak Doğu yönünde $100$ km ve Kuzey yönünde $100$ km yol almıştır.
Cevap B seçeneğidir.
