Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, rasyonel bir fonksiyonun yatay asimptotunu nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Yatay asimptotlar, bir fonksiyonun $x$ çok büyük pozitif veya çok büyük negatif değerler alırken hangi $y$ değerine yaklaştığını gösteren hayali çizgilerdir. Haydi başlayalım!
- Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama
- Verilen fonksiyonumuz $f(x) = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4}$ şeklindedir. Bu bir rasyonel fonksiyondur, yani bir polinomun başka bir polinoma oranıdır. Yatay asimptotları bulmak için bu tür fonksiyonların özel kuralları vardır.
- Adım 2: Yatay Asimptot Kurallarını Hatırlama
- Bir rasyonel fonksiyonun yatay asimptotunu bulmak için paydaki (üstteki) ve paydadaki (alttaki) polinomların en yüksek dereceli terimlerinin derecelerini karşılaştırırız. Üç temel durum vardır:
- Eğer payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yatay asimptot $y = 0$'dır.
- Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, yatay asimptot, paydaki en yüksek dereceli terimin katsayısının paydadaki en yüksek dereceli terimin katsayısına oranıdır.
- Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, yatay asimptot yoktur (bu durumda eğik asimptot olabilir).
- Adım 3: Fonksiyonun Derecelerini Belirleme
- Şimdi fonksiyonumuza geri dönelim: $f(x) = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4}$.
- Paydaki ifade $3x^2 - 2x + 1$'dir. Bu polinomdaki en yüksek dereceli terim $3x^2$'dir. Dolayısıyla, payın derecesi 2'dir.
- Paydadaki ifade $x^2 + 4$'tür. Bu polinomdaki en yüksek dereceli terim $x^2$'dir. Dolayısıyla, paydanın derecesi 2'dir.
- Adım 4: Kuralı Uygulama ve Yatay Asimptotu Bulma
- Gördüğümüz gibi, payın derecesi (2) ile paydanın derecesi (2) birbirine eşittir. Bu durumda, ikinci kuralımızı uygulamamız gerekir: "yatay asimptot, paydaki en yüksek dereceli terimin katsayısının paydadaki en yüksek dereceli terimin katsayısına oranıdır."
- Paydaki en yüksek dereceli terim $3x^2$'dir ve katsayısı 3'tür.
- Paydadaki en yüksek dereceli terim $x^2$'dir ve katsayısı 1'dir (çünkü $x^2$ aslında $1x^2$ demektir).
- Bu katsayıları oranlarsak: $y = \frac{\text{Payın en yüksek dereceli teriminin katsayısı}}{\text{Paydanın en yüksek dereceli teriminin katsayısı}} = \frac{3}{1} = 3$.
Bu durumda, fonksiyonun yatay asimptotu $y = 3$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
