Pay ve paydanın dereceleri eşit olan rasyonel fonksiyonlarda yatay asimptot nasıl bulunur?
A) Paydanın katsayısı payın katsayısına bölünürRasyonel fonksiyonlarda yatay asimptotları bulmak, fonksiyonun $x$ değerleri sonsuza veya eksi sonsuza giderken hangi $y$ değerine yaklaştığını anlamak demektir. Bu, fonksiyonun uzun vadeli davranışını gösterir.
Bir rasyonel fonksiyon, iki polinomun oranı şeklinde yazılabilen bir fonksiyondur. Yani, $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklinde ifade edilir, burada $P(x)$ ve $Q(x)$ birer polinomdur ve $Q(x) \neq 0$ olmalıdır.
Yatay asimptot, bir fonksiyonun grafiğinin $x$ değerleri sonsuza ($x \to \infty$) veya eksi sonsuza ($x \to -\infty$) yaklaştığında yaklaştığı yatay bir doğrudur. Bu doğru, fonksiyonun uçlardaki davranışını belirler.
Soru, pay ve paydanın derecelerinin eşit olduğu durumu ele almaktadır. Bu, yatay asimptot bulma kurallarından biridir. Genel olarak, bir rasyonel fonksiyon $f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0}$ şeklinde ifade edilsin.
Burada $n$, payın derecesi (en yüksek üs) ve $m$, paydanın derecesidir (en yüksek üs).
Eğer payın derecesi ($n$) ile paydanın derecesi ($m$) birbirine eşitse, yani $n=m$ ise, yatay asimptot $y = \frac{a_n}{b_m}$ doğrusudur.
Burada $a_n$, paydaki en yüksek dereceli terimin katsayısıdır (baş katsayı). $b_m$ ise paydadaki en yüksek dereceli terimin katsayısıdır (baş katsayı).
Bu kural, $x \to \pm \infty$ limitini alırken, fonksiyonun davranışını en yüksek dereceli terimlerin belirlemesi prensibine dayanır. Diğer terimler sonsuzda ihmal edilebilir hale gelir.
Örneğin, $f(x) = \frac{3x^2 + 2x - 1}{5x^2 - 4x + 7}$ fonksiyonunu ele alalım.
Bu fonksiyonda payın derecesi $n=2$ ve payın baş katsayısı $a_n=3$'tür.
Paydanın derecesi $m=2$ ve paydanın baş katsayısı $b_m=5$'tir.
Dereceler eşit olduğu için ($n=m=2$), yatay asimptot $y = \frac{a_n}{b_m} = \frac{3}{5}$ doğrusudur.
A) Paydanın katsayısı payın katsayısına bölünür: Bu, $\frac{b_m}{a_n}$ anlamına gelir ki yanlıştır.
B) Payın katsayısı paydanın katsayısına bölünür: Bu, $\frac{a_n}{b_m}$ anlamına gelir ve doğru kuralı ifade eder.
C) Sabit terimlerin oranı alınır: Sabit terimler $a_0$ ve $b_0$'dır. Bu oran, yatay asimptotu vermez.
D) Fonksiyon türevlenir: Türev alma işlemi yatay asimptot bulmak için doğrudan kullanılan bir yöntem değildir.
Bu nedenle, pay ve paydanın dereceleri eşit olan rasyonel fonksiyonlarda yatay asimptotu bulmak için payın baş katsayısı paydanın baş katsayısına bölünür.
Cevap B seçeneğidir.
