f(x) = (x² - 4)/(x - 2) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x = 2 noktasında süreklidir
B) x = 2'de süreksizdir ve süreksizlik kaldırılabilir türdendir
C) x = 2'de süreksizdir ve süreksizlik sonsuz türdendir
D) x = 2'de süreksizdir ve süreksizlik atlama türdendir
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun belirli bir noktadaki sürekliliğini inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için üç temel koşulu sağlaması gerekir. Bu koşulları adım adım kontrol edelim.
- Adım 1: Fonksiyonun Tanımlı Olup Olmadığını Kontrol Etme
- Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x = a$ noktasında sürekli olabilmesi için ilk koşul, $f(a)$ değerinin tanımlı olmasıdır.
- Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ve incelenen nokta $x = 2$.
- $x = 2$ değerini fonksiyonda yerine koyarsak: $f(2) = \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$ elde ederiz.
- $\frac{0}{0}$ ifadesi bir belirsizlik durumudur ve bu, fonksiyonun $x = 2$ noktasında tanımsız olduğu anlamına gelir.
- Fonksiyon $x = 2$ noktasında tanımlı olmadığı için, sürekliliğin ilk koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla, fonksiyon $x = 2$ noktasında süreksizdir. Bu durum A seçeneğini eler.
- Adım 2: Limit Değerini Hesaplama
- Fonksiyon süreksiz olduğuna göre, şimdi süreksizliğin türünü belirlemek için limitini hesaplamamız gerekiyor.
- $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
- Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğinden $(x - 2)(x + 2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
- Bu durumda fonksiyonu yeniden yazarsak: $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$
- Limit alırken $x \to 2$ demek, $x$'in $2$'ye çok yaklaştığı ancak $2$ olmadığı anlamına gelir. Bu yüzden $x - 2 \neq 0$ kabul edebiliriz ve paydadaki $(x - 2)$ terimini sadeleştirebiliriz.
- Sadeleştirme sonucunda: $f(x) = x + 2$ (bu ifade $x \neq 2$ için geçerlidir).
- Şimdi limiti hesaplayalım: $\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$.
- Gördüğümüz gibi, fonksiyonun $x = 2$ noktasındaki limiti mevcuttur ve $4$'e eşittir.
- Adım 3: Süreksizlik Türünü Belirleme
- Bir fonksiyonun $x = a$ noktasında tanımlı olmamasına rağmen, o noktadaki limitinin mevcut ve sonlu bir değer olması durumunda, bu tür süreksizliğe kaldırılabilir süreksizlik (veya nokta süreksizliği) denir.
- Eğer biz fonksiyonu $x = 2$ noktasında $f(2) = 4$ olarak yeniden tanımlasaydık, fonksiyon bu noktada sürekli hale gelirdi. Bu yüzden "kaldırılabilir" adını alır.
- Diğer süreksizlik türlerini de kısaca hatırlayalım: Sonsuz süreksizlik, limit değeri $\pm \infty$ olduğunda meydana gelir (genellikle payda sıfır, pay sıfır değilken). Bizim durumumuzda limit $4$ olduğu için bu tür değildir. Atlama süreksizliği ise sol ve sağ limitlerin farklı ancak ikisinin de sonlu olduğu durumlarda meydana gelir. Bizim durumumuzda tek bir limit değeri $4$ olduğu için bu tür de değildir.
- Sonuç olarak, $f(x)$ fonksiyonu $x = 2$ noktasında süreksizdir ve bu süreksizlik kaldırılabilir türdendir.
Cevap B seçeneğidir.
