Süreklilik nedir (Matematik) Test 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tüm reel sayılarda süreklidir?

A) f(x) = 1/x
B) g(x) = ln(x)
C) h(x) = |x|
D) k(x) = tan(x)

Bir fonksiyonun tüm reel sayılarda sürekli olması demek, o fonksiyonun tanım kümesinin tüm reel sayılar olması ve bu tanım kümesi üzerindeki her noktada grafiğinde hiçbir kopma, sıçrama veya tanımsızlık noktasının bulunmaması demektir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu:

  Bu rasyonel fonksiyon, paydanın sıfır olduğu $x=0$ noktasında tanımsızdır. Bir fonksiyon tanımsız olduğu bir noktada sürekli olamaz. Dolayısıyla, $f(x)$ tüm reel sayılarda sürekli değildir.

• B) $g(x) = \ln(x)$ fonksiyonu:

  Doğal logaritma fonksiyonunun tanım kümesi yalnızca pozitif reel sayılardır, yani $x > 0$ olmalıdır. $x \le 0$ için fonksiyon tanımlı değildir. Tanımlı olmadığı bölgelerde sürekli olamaz. Dolayısıyla, $g(x)$ tüm reel sayılarda sürekli değildir.

• C) $h(x) = |x|$ fonksiyonu:

  Mutlak değer fonksiyonu $h(x) = |x|$, tüm reel sayılar ($\mathbb{R}$) için tanımlıdır. Bu fonksiyonun grafiği, orijinde bir köşe noktası olan bir 'V' şeklindedir. Grafiği incelendiğinde hiçbir kopma, sıçrama veya boşluk olmadığı görülür. Matematiksel olarak, her $a \in \mathbb{R}$ için $\lim_{x \to a} |x| = |a|$ olduğundan, fonksiyon her noktada süreklidir. Bu nedenle, $h(x)$ tüm reel sayılarda süreklidir.

• D) $k(x) = \tan(x)$ fonksiyonu:

  Tanjant fonksiyonu $k(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ şeklinde ifade edilir. Bu fonksiyon, paydanın sıfır olduğu, yani $\cos(x) = 0$ olduğu noktalarda tanımsızdır. $\cos(x) = 0$ eşitliği $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (burada $n$ bir tam sayıdır) noktalarında sağlanır. Bu noktalarda fonksiyonun düşey asimptotları bulunur ve fonksiyon tanımsızdır. Dolayısıyla, $k(x)$ tüm reel sayılarda sürekli değildir.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $h(x) = |x|$ fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekli olduğu görülmektedir.

Cevap C seçeneğidir.