f(x) = { (sin x)/x, x ≠ 0; 1, x = 0 } şeklinde tanımlanan fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x = 0'da süreksizdir
B) x = 0'da kaldırılabilir süreksizlik vardır
C) x = 0'da süreklidir
D) x = 0'da sonsuz süreksizlik vardır
Bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olabilmesi için üç temel koşulu sağlaması gerekir. Bu koşullar $x=a$ noktasında süreklilik için şunlardır:
- $f(a)$ tanımlı olmalıdır. (Yani fonksiyonun o noktada bir değeri olmalıdır.)
- $\lim_{x \to a} f(x)$ limiti var olmalıdır. (Yani fonksiyonun o noktaya sağdan ve soldan yaklaştıkça aynı değere yaklaşması gerekir.)
- $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalıdır. (Yani fonksiyonun o noktadaki değeri, o noktadaki limit değerine eşit olmalıdır.)
Şimdi verilen $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ fonksiyonunu $x=0$ noktasında bu koşullara göre inceleyelim:
- 1. Koşul: $f(0)$ tanımlı mı?
Fonksiyonun tanımına göre, $x=0$ olduğunda $f(x)$'in değeri $1$ olarak verilmiştir. Yani $f(0) = 1$. Bu koşul sağlanmıştır.
- 2. Koşul: $\lim_{x \to 0} f(x)$ limiti var mı?
Limit hesaplarken $x \neq 0$ durumunu kullanırız, çünkü limit bir noktaya yaklaşmayı ifade eder, o noktanın kendisini değil. Bu durumda, $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ limitini hesaplamamız gerekir. Bu, trigonometrik limitlerde bilinen bir özel limittir ve değeri $1$'dir. Yani $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Bu koşul da sağlanmıştır.
- 3. Koşul: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ mı?
İlk iki adımdan elde ettiğimiz değerleri karşılaştıralım: $f(0) = 1$ ve $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. Görüldüğü gibi, $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ eşitliği sağlanmaktadır ($1 = 1$).
Her üç koşul da sağlandığı için, $f(x)$ fonksiyonu $x=0$ noktasında süreklidir.
Cevap C seçeneğidir.
