limx→1 (x³ - 1)/(x² - 1) limitini hesaplamak isteyen bir öğrenci, pay ve paydayı çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapıyor.
Buna göre, sadeleştirme sonucu elde edilen ifade ve limit değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x² + x + 1)/(x + 1), 1
B) (x² - x + 1)/(x - 1), 2
C) (x² + x + 1)/(x + 1), 3/2
D) (x² - x + 1)/(x + 1), 1/2
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirsiz bir limit ifadesini çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanarak nasıl hesaplayacağımızı adım adım göreceğiz. Bu yöntem, limit hesaplamalarında sıkça karşımıza çıkan $0/0$ belirsizliğini ortadan kaldırmak için çok etkili bir yoldur.
- Adım 1: Pay ve Paydayı Çarpanlarına Ayırma
- Öncelikle, limitini hesaplamak istediğimiz ifadenin payını ve paydasını ayrı ayrı çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. İfademiz: $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$
- Payı çarpanlarına ayıralım: $x^3 - 1$ ifadesi, küpler farkı özdeşliğidir. Genel formülü $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ şeklindedir.
- Burada $a = x$ ve $b = 1$ olduğundan, $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ olur.
- Paydayı çarpanlarına ayıralım: $x^2 - 1$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğidir. Genel formülü $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ şeklindedir.
- Burada $a = x$ ve $b = 1$ olduğundan, $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ olur.
- Adım 2: İfadeyi Sadeleştirme
- Şimdi çarpanlarına ayırdığımız pay ve paydayı orijinal limit ifadesinde yerine yazalım:
- $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$
- Limit hesaplarken $x \to 1$ demek, $x$'in $1$'e çok yaklaştığı ama asla $1$ olmadığı anlamına gelir. Bu yüzden $x - 1 \neq 0$ diyebiliriz. Bu durumda, pay ve paydadaki ortak $(x - 1)$ çarpanlarını sadeleştirebiliriz.
- Sadeleştirme sonucunda elde edilen yeni ifade: $\frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$
- Adım 3: Sadeleştirilmiş İfadenin Limitini Hesaplama
- Sadeleştirme işlemiyle $0/0$ belirsizliğini ortadan kaldırdık. Artık $x = 1$ değerini doğrudan sadeleştirilmiş ifadeye yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz:
- $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{1 + 1 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
- Sonuç
- Sadeleştirme sonucu elde edilen ifade $\frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ ve limit değeri $\frac{3}{2}$'dir.
Bu sonuç, C seçeneğindeki ifade ve değerle eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
