limx→0 (sin3x)/x limitinin değeri kaçtır?
A) 0Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, trigonometrik bir fonksiyon içeren bir limitin değerini bulmamız isteniyor. Limit problemlerini çözerken temel kuralları ve özel limitleri bilmek işimizi çok kolaylaştırır. Hadi adım adım bu soruyu çözelim:
Öncelikle, $x \to 0$ iken ifadenin neye yaklaştığını kontrol edelim. Pay kısmında $\sin(3x)$ var. $x \to 0$ olduğunda, $3x \to 0$ ve $\sin(3x) \to \sin(0) = 0$ olur. Payda kısmında ise $x$ var, o da $x \to 0$ olduğunda $0$ olur. Bu durumda, limitimiz $\frac{0}{0}$ belirsizliği şeklindedir. Bu tür belirsizlikleri gidermek için özel limit kurallarını kullanırız.
Trigonometrik limitlerde sıkça kullandığımız çok önemli bir kural vardır:
$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$
Bu kuralı kullanarak sorumuzu çözmeye çalışacağız. Kuralın uygulanabilmesi için $\sin$ fonksiyonunun içindeki ifade ile paydadaki ifadenin aynı olması ve bu ifadenin sıfıra yaklaşması gerekir.
Bizim limitimiz $\lim_{x \to 0} \frac{\sin3x}{x}$ şeklindedir. $\sin$ fonksiyonunun içindeki ifade $3x$'tir. Temel kuralı uygulayabilmek için paydada da $3x$ olmasını isteriz. Bunun için ifadeyi $3$ ile çarpıp $3$ ile bölebiliriz. Bu işlem ifadenin değerini değiştirmez:
$\frac{\sin3x}{x} = \frac{\sin3x}{x} \times \frac{3}{3}$
Şimdi bu ifadeyi yeniden düzenleyelim:
$\frac{\sin3x}{x} = 3 \times \frac{\sin3x}{3x}$
Şimdi limitimizi bu yeni ifadeye uygulayalım:
$\lim_{x \to 0} \left( 3 \times \frac{\sin3x}{3x} \right)$
Limitin özelliklerinden biri, bir sabitin limit dışına alınabilmesidir:
$3 \times \lim_{x \to 0} \frac{\sin3x}{3x}$
Şimdi, temel limit kuralımızı uygulayabiliriz. Eğer $u = 3x$ dersek, $x \to 0$ iken $u \to 3 \times 0 = 0$ olur. Yani, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin3x}{3x}$ ifadesi $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u}$ ifadesine dönüşür.
Bu temel limitin değeri $1$'dir.
O halde, limitimizin değeri:
$3 \times 1 = 3$ olur.
Bu adımları takip ederek limitin değerini $3$ olarak bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
