Koşullu olasılık nedir (P(A|B)) Test 1

Bir zar atılıyor ve üst yüze gelen sayının asal olduğu biliniyor. Bu sayının 5'ten küçük olma olasılığı kaçtır?

A) 1/3
B) 1/2
C) 2/3
D) 3/4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, olasılık kavramını koşullu olasılık bağlamında ele alacağız. Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığını nasıl hesapladığımızı adım adım inceleyelim.

• Adım 1: Zarın Olası Sonuçlarını Belirleyelim.

  Bir zar atıldığında üst yüze gelebilecek sayılar şunlardır: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

  Bu, bizim başlangıçtaki tüm olası durumlar kümemizdir.

• Adım 2: "Üst yüze gelen sayının asal olduğu biliniyor" koşulunu uygulayalım.

  Soruda bize, üst yüze gelen sayının asal olduğu biliniyor deniyor. Bu, bizim yeni örnek uzayımızı (tüm olası durumlar kümemizi) daraltır.

  Şimdi, $1, 2, 3, 4, 5, 6$ sayıları arasından asal olanları bulalım:

  • $1$ asal değildir.
  • $2$ asaldır (yalnızca $1$ ve $2$'ye bölünür).
  • $3$ asaldır (yalnızca $1$ ve $3$'e bölünür).
  • $4$ asal değildir ($1, 2, 4$'e bölünür).
  • $5$ asaldır (yalnızca $1$ ve $5$'e bölünür).
  • $6$ asal değildir ($1, 2, 3, 6$'ya bölünür).

  Buna göre, üst yüze gelen sayının asal olduğu bilindiğine göre, olası durumlar kümemiz (yeni örnek uzayımız) artık sadece $\{2, 3, 5\}$'tir.

  Bu kümede toplam $3$ tane olası durum vardır.

• Adım 3: İstenen olayı belirleyelim: "Bu sayının 5'ten küçük olma olasılığı".

  Şimdi, Adım 2'de bulduğumuz yeni örnek uzayımız olan $\{2, 3, 5\}$ kümesi içinden, 5'ten küçük olan sayıları seçelim:

  • $2$ sayısı 5'ten küçüktür.
  • $3$ sayısı 5'ten küçüktür.
  • $5$ sayısı 5'ten küçük değildir.

  Yani, istenen olayı sağlayan durumlar $\{2, 3\}$'tür.

  Bu kümede toplam $2$ tane durum vardır.

• Adım 4: Olasılığı Hesaplayalım.

  Olasılık, "İstenen durum sayısı"nın "Tüm olası durum sayısı"na oranıdır.

  Bizim durumumuzda:

  • İstenen durum sayısı (5'ten küçük ve asal olan sayılar): $2$ (yani $2$ ve $3$)
  • Tüm olası durum sayısı (asal olan sayılar): $3$ (yani $2, 3$ ve $5$)

  Olasılık $= \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Tüm olası durum sayısı}} = \frac{2}{3}$.

Bu durumda, sayının asal olduğu bilindiğinde, bu sayının 5'ten küçük olma olasılığı $rac{2}{3}$'tür.

Cevap C seçeneğidir.