Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki polinomun birbirine eşit olduğu bilgisi verilmiş ve bizden belirli katsayıların toplamını bulmamız isteniyor. Polinom eşitliği kavramını kullanarak bu soruyu adım adım çözelim.
- Polinomların Eşitliği Prensibi:
İki polinomun birbirine eşit olması demek, aynı dereceli terimlerinin katsayılarının da birbirine eşit olması demektir. Yani, eğer $P(x) = Q(x)$ ise, $x^3$lü terimin katsayısı $x^3$lü terimin katsayısına, $x^2$li terimin katsayısı $x^2$li terimin katsayısına ve bu şekilde tüm terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
- Verilen Polinomları İnceleyelim:
Bize $P(x) = (a-1)x^3 + (b+2)x^2 + cx + d$ ve $Q(x) = 3x^2 + 4x - 2$ polinomları verilmiş.
$P(x)$ polinomunda $x^3$, $x^2$, $x^1$ ve sabit terimler açıkça görülüyor.
$Q(x)$ polinomunda ise $x^3$ terimi bulunmamaktadır. Bu, $x^3$ teriminin katsayısının $0$ olduğu anlamına gelir. Bu yüzden $Q(x)$ polinomunu, katsayıları daha rahat karşılaştırabilmek için şu şekilde düşünebiliriz: $Q(x) = 0x^3 + 3x^2 + 4x - 2$.
- Karşılıklı Katsayıları Eşitleyelim:
$P(x) = Q(x)$ olduğuna göre, karşılıklı terimlerin katsayılarını birbirine eşitleyelim:
- $x^3$lü terimlerin katsayıları: $(a-1) = 0$
- $x^2$li terimlerin katsayıları: $(b+2) = 3$
- $x^1$li (yani $x$li) terimlerin katsayıları: $c = 4$
- Sabit terimler (yani $x^0$lı terimler): $d = -2$
- $a, b, c, d$ Değerlerini Bulalım:
Şimdi bu denklemleri çözerek $a, b, c, d$ değerlerini bulalım:
- $a-1 = 0 \Rightarrow a = 1$
- $b+2 = 3 \Rightarrow b = 3-2 \Rightarrow b = 1$
- $c = 4$
- $d = -2$
- İstenen Toplamı Hesaplayalım:
Bizden $a+b+c+d$ toplamı isteniyor. Bulduğumuz $a=1$, $b=1$, $c=4$ ve $d=-2$ değerlerini yerine yazalım:
$a+b+c+d = 1 + 1 + 4 + (-2)$
$a+b+c+d = 1 + 1 + 4 - 2$
$a+b+c+d = 6 - 2$
$a+b+c+d = 4$
Cevap A seçeneğidir.
