İki doğru arasındaki açı formülü Test 1

Eğimleri sırasıyla $m_1=\sqrt{3}$ ve $m_2=1$ olan iki doğru arasındaki dar açının tanjant değeri nedir?

A) $\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$
B) $\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$
C) $\sqrt{3}-1$
D) $\sqrt{3}+1$

Sevgili öğrenciler, bu soruda iki doğrunun eğimleri verildiğinde aralarındaki dar açının tanjant değerini bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için belirli bir formülü kullanırız. Şimdi adım adım bu formülü uygulayalım:

• Adım 1: İki doğru arasındaki açının tanjant formülünü hatırlayalım.
• Eğimleri $m_1$ ve $m_2$ olan iki doğru arasındaki açının $\theta$ olduğunu varsayalım. Bu açının tanjantı için genel formül şöyledir:

  $\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

  Buradaki mutlak değer işareti, dar açıyı bulmamızı sağlar. Eğer mutlak değer kullanmazsak, geniş açıyı da bulabiliriz. Soru bizden dar açıyı istediği için mutlak değer önemlidir.

• Adım 2: Verilen eğim değerlerini belirleyelim.
• Soruda bize verilen eğimler şunlardır:

  $m_1 = \sqrt{3}$

  $m_2 = 1$

• Adım 3: Eğim değerlerini formülde yerine koyalım.
• Şimdi $m_1$ ve $m_2$ değerlerini formülde yerine yazalım:

  $\tan\theta = \left| \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + (\sqrt{3})(1)} \right|$

  Bu ifadeyi sadeleştirelim:

  $\tan\theta = \left| \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \right|$

• Adım 4: Mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini kontrol edelim.
• $\sqrt{3}$ yaklaşık olarak $1.732$'dir.

  Pay: $\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$ (pozitif bir değer)

  Payda: $1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$ (pozitif bir değer)

  Hem pay hem de payda pozitif olduğu için, kesrin değeri de pozitiftir. Bu durumda mutlak değer işaretini kaldırabiliriz.

  $\tan\theta = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Bu sonuç, seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.