Reel (Gerçek) sayılar nedir (R) Test 1

Aşağıdaki sayılardan hangisi reel sayılar kümesinde var olmasına rağmen rasyonel sayılar kümesinde yoktur?

A) 0,75
B) -5
C) √9
D) √2

Bu soruyu çözmek için öncelikle "reel sayılar" ve "rasyonel sayılar" kümelerinin ne anlama geldiğini hatırlayalım:

• Reel Sayılar ($\mathbb{R}$): Sayı doğrusu üzerinde gösterilebilen tüm sayıları kapsar. Hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir.
• Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır, burada $a$ ve $b$ birer tam sayı ve $b \neq 0$'dır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da tekrar eden bir örüntüye sahiptir.
• Soru bizden, reel sayılar kümesinde var olan ancak rasyonel sayılar kümesinde olmayan bir sayı bulmamızı istiyor. Yani aslında bir irrasyonel sayı arıyoruz. İrrasyonel sayılar, $rac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan ve ondalık gösterimleri sonsuz, düzensiz devam eden sayılardır.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $0,75$:

  Bu sayı, $rac{75}{100}$ veya sadeleştirilmiş haliyle $rac{3}{4}$ olarak yazılabilir. Hem $3$ hem de $4$ birer tam sayı olduğu için $0,75$ bir rasyonel sayıdır. Aynı zamanda bir reel sayıdır. Dolayısıyla aradığımız sayı değildir.

• B) $-5$:

  Bu sayı, $rac{-5}{1}$ olarak yazılabilir. $-5$ ve $1$ birer tam sayı olduğu için $-5$ bir rasyonel sayıdır (tüm tam sayılar rasyoneldir). Aynı zamanda bir reel sayıdır. Dolayısıyla aradığımız sayı değildir.

• C) $\sqrt{9}$:

  Bu sayının değeri $3$'tür. $3$ sayısı da $rac{3}{1}$ olarak yazılabilir. $3$ ve $1$ birer tam sayı olduğu için $\sqrt{9}$ bir rasyonel sayıdır. Aynı zamanda bir reel sayıdır. Dolayısıyla aradığımız sayı değildir.

• D) $\sqrt{2}$:

  Bu sayının değeri yaklaşık olarak $1,41421356...$ şeklinde devam eder. Bu sayının ondalık gösterimi sonsuzdur ve tekrar eden bir örüntüsü yoktur. Bu nedenle $\sqrt{2}$ sayısı $rac{a}{b}$ şeklinde yazılamaz. Dolayısıyla $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar, reel sayılar kümesinin bir alt kümesidir ancak rasyonel sayılar kümesinin değildir. Bu sayı hem reel sayılar kümesinde vardır hem de rasyonel sayılar kümesinde yoktur.

Cevap D seçeneğidir.