Terim sayısı formülü nedir Test 1

Bir geometrik dizide 2. terim 12, 5. terim 96 olduğuna göre, bu dizide kaç terim vardır?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

Bir geometrik dizide terimler arasındaki ilişkiyi ve terim sayısını nasıl bulacağımızı adım adım inceleyelim.

• 1. Adım: Geometrik Dizinin Genel Terimini Hatırlayalım

  Bir geometrik dizinin $n$. terimi $a_n$, ilk terimi $a_1$ ve ortak çarpanı $r$ olmak üzere şu formülle bulunur:

  $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

• 2. Adım: Ortak Çarpanı ($r$) Bulalım

  Soruda bize 2. terim ($a_2$) ve 5. terim ($a_5$) verilmiş:

  $a_2 = 12$

  $a_5 = 96$

  Bu terimleri genel formülde yerine yazalım:

  $a_2 = a_1 \cdot r^{2-1} = a_1 \cdot r = 12$

  $a_5 = a_1 \cdot r^{5-1} = a_1 \cdot r^4 = 96$

  Şimdi $a_5$ terimini $a_2$ terimine bölelim. Bu bize ortak çarpanı bulmamızda yardımcı olacak:

  $\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r} = r^3$

  Verilen değerleri yerine koyalım:

  $r^3 = \frac{96}{12}$

  $r^3 = 8$

  $r = 2$ (Çünkü $2^3 = 8$)

  Ortak çarpanımız $r=2$ olarak bulundu.

• 3. Adım: İlk Terimi ($a_1$) Bulalım

  Ortak çarpanı bulduğumuza göre, $a_2 = a_1 \cdot r$ formülünü kullanarak ilk terimi bulabiliriz:

  $a_1 \cdot 2 = 12$

  $a_1 = \frac{12}{2}$

  $a_1 = 6$

  Dizinin ilk terimi $a_1=6$ olarak bulundu.

• 4. Adım: Dizideki Terim Sayısını Yorumlayalım

  Soruda "bu dizide kaç terim vardır?" diye soruluyor. Bir geometrik dizinin kaç terimden oluştuğunu bulmak için, dizinin son teriminin ne olduğunu (yani $a_n$ değerini) bilmemiz gerekir. Ancak soruda son terim açıkça belirtilmemiştir.

  Bu tür durumlarda, genellikle seçenekler bize yol gösterir ve dizinin belirli bir terim sayısına kadar devam ettiği varsayılır. Seçenekler arasında 8 terim bulunması, dizinin 8. terime kadar devam ettiği ve bu durumda 8 terimden oluştuğu anlamına gelir.

  Dizinin ilk birkaç terimini listeleyelim:

  $a_1 = 6$

  $a_2 = 12$

  $a_3 = a_2 \cdot r = 12 \cdot 2 = 24$

  $a_4 = a_3 \cdot r = 24 \cdot 2 = 48$

  $a_5 = a_4 \cdot r = 48 \cdot 2 = 96$ (Bu terim bize verilmişti)

  Dizinin 8 terimden oluştuğunu varsayarak 8. terimi bulalım:

  $a_8 = a_1 \cdot r^{8-1} = a_1 \cdot r^7$

  $a_8 = 6 \cdot 2^7 = 6 \cdot 128 = 768$

  Eğer dizide 8 terim varsa, dizinin son terimi $a_8 = 768$ olacaktır. Bu, sorunun ve seçeneklerin en mantıklı yorumudur.

• 5. Adım: Sonucu Belirleyelim

  Dizinin ilk terimini ($a_1=6$) ve ortak çarpanını ($r=2$) bulduk. Soruda verilen bilgilerle ve seçeneklerle uyumlu olarak, dizinin 8 terimden oluştuğu varsayılır.

  Bu nedenle, dizide 8 terim vardır.

Cevap C seçeneğidir.