Sevgili öğrenciler, bu soruda bize birim çember üzerinde bir $ \theta $ açısı için $ \sin\theta = 2\cos\theta $ eşitliği verilmiş ve bizden $ \sin^2\theta + \cos^2\theta $ ifadesinin değerini bulmamız isteniyor.
Bu tür soruları çözerken, bazen verilen bilgilerin hepsini kullanmak zorunda kalmayabileceğimizi unutmamak önemlidir. Özellikle trigonometride, bazı ifadelerin değeri her zaman sabittir.
- Öncelikle, bizden istenen ifadeye dikkatlice bakalım: $ \sin^2\theta + \cos^2\theta $.
- Trigonometrinin en temel ve en önemli özdeşliklerinden (identities) biri, Pisagor Özdeşliği olarak da bilinen $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ özdeşliğidir.
- Bu özdeşlik, birim çember üzerindeki herhangi bir $ \theta $ açısı için her zaman geçerlidir. Yani, $ \sin\theta $ ve $ \cos\theta $ değerleri ne olursa olsun (birim çember üzerinde tanımlı oldukları sürece), karelerinin toplamı daima $ 1 $ olacaktır.
- Soruda bize verilen $ \sin\theta = 2\cos\theta $ bilgisi, aslında $ \theta $ açısının hangi bölgede olduğunu veya $ \sin\theta $ ve $ \cos\theta $ değerlerinin tam olarak ne olduğunu bulmamızı sağlayacak ek bir bilgidir. Ancak, bizden istenen ifade $ \sin^2\theta + \cos^2\theta $ olduğu için, bu ek bilgiye ihtiyacımız yoktur.
- Çünkü $ \sin^2\theta + \cos^2\theta $ ifadesinin değeri, $ \theta $ açısının spesifik değerlerinden bağımsız olarak her zaman $ 1 $dir.
- Dolayısıyla, $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ eşitliği doğrudan cevabımızdır.
Bu tür sorular, temel trigonometrik özdeşlikleri ne kadar iyi bildiğinizi ve gereksiz bilgileri eleyebilme yeteneğinizi ölçmek için tasarlanmıştır. Unutmayın, her zaman en basit yolu bulmaya çalışın!
Cevap D seçeneğidir.
