Bir bahçıvan elindeki 48 kırmızı ve 64 beyaz gülü, her bukette eşit sayıda kırmızı ve eşit sayıda beyaz gül olacak şekilde buketler yapacaktır. En az kaç buket oluşturulabilir?
A) 8Bu problemde, elimizdeki farklı renklerdeki gülleri belirli kurallara göre buketler haline getirmemiz isteniyor. Amacımız, bu kurallara uyarak oluşturulabilecek buket sayısını bulmaktır.
Bir bahçıvanın 48 kırmızı ve 64 beyaz gülü var. Bu güllerle buketler yapacak.
Önemli kural şu: Her bukette eşit sayıda kırmızı gül ve eşit sayıda beyaz gül olmalı. Bu, tüm buketlerin birbirinin tamamen aynısı olacağı anlamına gelir.
Bizden istenen ise "En az kaç buket oluşturulabilir?" sorusunun cevabı.
Eğer her bukette eşit sayıda kırmızı ve eşit sayıda beyaz gül olacaksa, oluşturacağımız toplam buket sayısı hem kırmızı güllerin (48) hem de beyaz güllerin (64) tam böleni olmalıdır. Örneğin, eğer 10 buket yapsaydık, 48 kırmızı gülü 10'a bölemez ve her bukete eşit sayıda kırmızı gül koyamazdık.
Yani, oluşturacağımız buket sayısı ($N$), hem $48$'in hem de $64$'ün ortak bir böleni olmalıdır.
Bu tür problemlerde "En az kaç buket oluşturulabilir?" ifadesi genellikle, tüm gülleri kullanarak oluşturabileceğimiz en fazla sayıda özdeş buket anlamına gelir. Çünkü eğer en fazla sayıda buket yaparsak, her buketteki gül sayısı en az olur ve bu da güllerin en verimli şekilde kullanıldığı durumu temsil eder. Bu durumda, buket sayısı, sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olacaktır.
Şimdi $48$ ve $64$ sayılarının EBOB'unu bulmalıyız. Bunun için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanabiliriz:
$48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$
$64 = 2 \times 32 = 2 \times 2 \times 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$
EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak bulunur: $EBOB(48, 64) = 2^{\min(4, 6)} \times 3^{\min(1, 0)} = 2^4 \times 3^0 = 16 \times 1 = 16$.
Demek ki, bahçıvan 16 tane özdeş buket oluşturabilir.
Eğer 16 buket oluşturursak:
Her buketteki kırmızı gül sayısı: $48 \div 16 = 3$ kırmızı gül.
Her buketteki beyaz gül sayısı: $64 \div 16 = 4$ beyaz gül.
Gördüğümüz gibi, her bukette eşit sayıda kırmızı (3 adet) ve eşit sayıda beyaz (4 adet) gül var. Bu, problemdeki tüm koşulları sağlıyor ve oluşturulabilecek en fazla sayıda özdeş buket olduğu için, problemdeki "en az kaç buket" ifadesinin cevabı oluyor.
Cevap C seçeneğidir.
